Notación de límites: igual o flecha

Question

Hace poco utilicé la siguiente notación para expresar el límite en una publicación:

$$ \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = 0 $$

El crítico dijo que esto es incorrecto. En su lugar debería decir:

$$ \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) \rightarrow 0 $$

¿Hay alguna diferencia semántica entre estas dos expresiones? No he encontrado nada que aclare la diferencia. En caso de que sea sólo una cuestión de preferencia notacional: ¿Estaría de acuerdo en que la primera notación es más común y tal vez "más correcta", ya que el límite en realidad es igual ¿a la derecha?

Answer 1

Creo que la primera tiene razón y la segunda no. Cuando el límite existe es seguramente un número, y un número no tiende a nada.

Tal vez quería decir algo como $$f(x)\overset{x\to \infty}{\to} 0$$ Pero preferiría siempre $$\lim_{x\to \infty} f(x)=0$$ porque el límite ES algo y no tiende a algo.

Cuando se usan las flechas se dice algo como tiende a así que esencialmente se dice en $f(x)\to 0$ como $x\to \infty$ que cuando $x$ va a $\infty$ tu función tiende a cero.

La segunda notación sería, como el límite es un fijo $c$ , $$\text{c}\to 0$$ lo que me parece una tontería.

La notación a utilizar depende de si estás en modo texto o en modo visualización. En un modo de visualización utilizaría $$\lim_{x\to \infty} f(x)=0$$ En inline hay tres opciones, la primera es

• $\lim_{x\to \infty} f(x)=0$
• $f(x)\to 0$ como $x\to \infty$
• En $x$ llega hasta el infinito $f(x)$ tiende a cero.

Personalmente prefiero la tercera, porque en la primera el índice será difícilmente legible, en la segunda hay demasiados símbolos matemáticos en una frase y la tercera será la más fácil de leer.

Answer 2

Hay dos formas de expresarlo:

1) $ \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = 0 $

2) $f(x) \rightarrow 0$ como $x \rightarrow \infty$ .

Creo que son iguales, no hay diferencia.

Answer 3

Por supuesto, una notación híbrida como $$\lim_{x\to a} f(x,y)\to c\qquad\text{as }y\to b$$ podría ser posible, lo que sería lo mismo que $$\lim_{y\to b}\lim_{x\to y} f(x,y)=c.$$

Answer 4

Cuando un límite da + o -, no significa que, el valor límite de ese límite sea infinito. En realidad significa que el límite deja de existir al acercarse al infinito.

Lo más importante es que + o - no son Números Reales, por lo que es tan habitual que, no se les apliquen reglas algebraicas o aritméticas. Por ejemplo: (+)+(-)0 pero puede que muchos de nosotros predigamos que (+)+(-)=0 , lo cual es incorrecto.

A veces se abusa de las notaciones o los libros de texto lo dicen de una manera, para hacernos entender pero no es correcta ni técnica ni teóricamente. Porque no hay otras notaciones específicas para describir que un límite no existe. Asi que los autores usan estas notaciones para hacernos entender pero usualmente malinterpretamos la definicion real o el significado que yace detras de estas notaciones.

En el contexto de la recta real, digamos para el Cálculo, no es un número real, por lo que no es correcto decir que algo "es igual a" . En particular, un límite no puede ser igual a esto.

Tal vez por eso su supervisor le dijo que utilizara esta notación de flecha. Creo que es totalmente correcto, pero debido a la falta de conocimiento de los límites de comportamiento de este símbolo parece bastante ilegal o matemáticamente error.