Prueba $x$ es un determinado cociente de logaritmos

Question

Estoy practicando algunas de las preguntas sobre los logaritmos en el momento con el fin de que estoy hasta la velocidad con la resolución de problemas de aspecto antes de embarcarse en mi tesis de DOCTORADO en ingeniería química en la universidad de Boston el próximo año.

He estado estudiando las leyes de los logaritmos y lo que debo hacer cuando es necesario sumar y restar los registros. Así, por ejemplo, para la primera parte de la pregunta que me causa problemas, me gustaría utilizar la primera ley de los logaritmos.

Mi problema viene con el "Probar parte", y establecer un valor de $x$ cuando ya está involucrado en la primera parte de la pregunta.

Sé que lo más probable que ser cerrado por falta de pruebas y de investigación para esto, pero me gustaría saber cuál es el más primer paso lógico sería y de la regla que necesito para seguir. No siga en las otras preguntas que me han sido de problemas y por lo que no puedo resolver el problema tan fácilmente como puedo el resto.

Aquí está mi pregunta:

Si $4^x\cdot 5^{3x+1}=10^{2x+1}$, demuestran que, a $x=\dfrac{\log(2)}{\log(5)}$.

Gracias, no es un problema si me llega a apagar, sé que este no es en el espíritu de la web y que normalmente nunca hacer una pregunta de tal manera.

Answer 1

$$4^x\cdot 5^{3x+1} = 10^{2x+1}$$

$~~$Empecemos por mover todo a un lado dividiendo ambos lados por $10^{2x+1}$

$$\dfrac{4^x\cdot 5^{3x+1}}{10^{2x+1}} = 1$$

$~~$Separémonos el denominador con el hecho de que $10=2\cdot 5$

$$\dfrac{4^x\cdot 5^{3x+1}}{(2\cdot 5)^{2x+1}} = 1$$

$~~$, $(ab)^c = a^c\cdot b^c$

$$\dfrac{4^x\cdot 5^{3x+1}}{2^{2x+1}\cdot 5^{2x+1}} = 1$$

$~~$Déjenos factor un factor de dos en el denominador el uso de $a^{b+c} = a^b\cdot a^c$

$$\dfrac{4^x\cdot 5^{3x+1}}{2^{2x}\cdot 2\cdot 5^{2x+1}}=1$$

$~~$Ahora, el uso de $a^{bc} = (a^b)^c$ simplificar $2^{2x}$ en términos de potencia de cuatro

$$\dfrac{4^x\cdot 5^{3x+1}}{4^x\cdot 2\cdot 5^{2x+1}}=1$$

$~~$Cancelar los términos y el uso de $\frac{a^b}{a^c} = a^{b-c}$

$$\frac{5^x}{2}=1$$

$~~$Multiplicar ambos lados por dos

$$5^x=2$$

$~~$Tomar el logaritmo de cada lado

$$\log(5^x)=\log(2)$$

$~~$Uso de la propiedad de los logaritmos que $\log(a^b)=b\log(a)$

$$x\log(5)=\log(2)$$

$~~$Divide cada lado por $\log(5)$ para llegar al resultado deseado

$$x=\frac{\log(2)}{\log(5)}$$

Answer 2

Solución Alternativa:

Recordar las leyes de los logaritmos:

1. $\log a^b = b \log a$.
2. $\log ab = \log a + \log b$
3. $\log \frac{a}{b} = \log a - \log b$

Tomando el logaritmo de ambos lados de la ecuación y aplicando la regla (1), se obtiene: $$ x \log 4 + (3x + 1) \log 5 = (2x + 1) \log (10) $$ que puede ser simplificado a $$ (\log 4 + 3 \log 5 – 2 \log 10) x = \log(10) - \log(5) $$

El uso de las reglas mencionadas, obtenemos $$ \log\left(\frac{4 \times 5^3}{10^2}\right) x = \log\left(\frac{10}{5}\right) $$ que establecer su resultado.

Answer 3

\begin{align} 4^x \cdot 5^{3x+1} & = 2^{2x} \cdot 5^{3x+1} \\ & = 2^{2x} \cdot 5^{2x} \cdot 5^{x+1} \\ & = 10^{2x} \cdot 5^{x+1} \end {Alinee el}

Si $10^{2x} \cdot 5^{x+1} = 10^{2x+1}$ (la hipótesis del problema), entonces

$$ 5 ^ {x +1} = 10 $$ $$ 5 ^ x \cdot 5 ^ 1 = 10 $$ $$ 5 ^ x = 2 $$

que nos da, por definición,

$$ x = \log_5 2 $$

que puede reescribirse, usando $\log_b x = \frac{\log x}{\log b}$, como

$$ x = \frac{\log 2} {\log 5} $$