Fórmula para la suma de $1\cdot 2 + 2\cdot 3 + 3\cdot 4+\ldots + n\cdot (n+1)$

Question

¿Hay una fórmula para la siguiente suma?

$S_n = 1\cdot2 + 2\cdot 3 + 3\cdot 4 + 4\cdot 5 +\ldots + n\cdot (n+1)$

Answer 1

Dividir cada término de la serie por $2$. El resultado es $$\binom{2}{2}+\binom{3}{2}+\cdots+\binom{n+1}{2}.\tag{$1$}$$ Damos una combinatoria argumento de que la suma de $(1)$ es igual a $\binom{n+2}{3}$.

Ahora, ¿cuántas maneras hay para elegir tres números de los números de $1$$n+2$? El menor número elegido podría ser $n$. Luego hay $\binom{2}{2}$ formas de elegir a los otros dos. O el más pequeño número elegido podría ser $n-1$, en cuyo caso no se $\binom{3}{2}$ formas de elegir a los otros dos. O el más pequeño número elegido podría ser $n-2$, en cuyo caso no se $\binom{4}{2}$ formas de elegir a los otros dos. Y así sucesivamente, hasta el más pequeño número elegido ser $1$, en cuyo caso no se $\binom{n+1}{2}$ formas de elegir a los otros dos.

Por lo tanto la mitad de nuestros suma es $\binom{n+2}{3}$, y llegamos a $$1\cdot 2+2\cdot 3+\cdots+n\cdot(n+1)=2\binom{n+2}{3}.$$

Answer 2

$S_n = \sum_{k=1}^n k(k+1) = \sum_{k=1}^n k^2 + \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

Answer 3

$k(k+1) = \frac{1}{3}((k+1)^3-k^3-1)$. Así que todos los %#% de #% cancel, excepto el primero y el último. Obtenemos:

$k$

Answer 4

No una manera inteligente, pero es bien sabido que tenemos $$ \sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)} {2} \qquad\mbox {y} \qquad \sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)} {6}. $$ Que $$ \sum_{k=1}^nk(k+1) = \sum_ {k = 1} ^ nk ^ 2 + k = \sum_ {k = 1} ^ nk ^ 2 + \sum_ {k = 1} ^ nk = \ldots $$ TonyK respuesta es altamente recomendable: que es la manera inteligente.

Answer 5

¡Podemos utilizar cálculo discreto! Denotar de que $x^{\overline{k}}$ $k$ th levantamiento factorial poder de $x$. Es decir: $$x^{\overline k} = \underbrace{x(x+1)(x+2)\cdots(x+k-1)}_{k\text{ factors}}$ $

Entonces, $S_n = \sum_{k=0}^{n} k(k+1) = \sum_0^{n+1}x^{\overline 2}\,\delta x$. (Aviso que comencé la suma $k=0$; esto facilita el enchufe en el límite inferior, pero no afecta el valor de la suma ya que el primer término es $0$.)

Usando la regla de potencia para la sumatoria, tenemos:

\begin{align} S_n &= \sum_0^{n+1}x^{\overline 2}\,\delta x\\ &= \frac{(x-1)^{\overline 3}}{3}\Bigg|_0^{n+1}\\ &= \frac{n^{\overline 3}}{3}\\ &= \frac{n(n+1)(n+2)}{3} \end {Alinee el}