Qué es
$$\int_0^1 \int_0^1 \frac{ dx \; dy}{1+xy+x^2y^2} ? $$
¿Puedes hacer uno de los integrales y convertirlo en un solo integral? Me pierdo en un mar de tangentes inversas.
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user3035
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Puede reescribir el integral como $$\int_0^1 \int_0^1 {1 - xy \over 1 - x^3y^3}\,dx\,dy$$ extensión ${\displaystyle{1 \over 1 - x^3y^3}}$ % serie geométrica $\sum_n x^{3n}y^{3n}$esto se convierte en $$\int_0^1 \int_0^1 \sum_{n=0}^{\infty} x^{3n}y^{3n} - \sum_{n=0}^{\infty} x^{3n+1}y^{3n+1}\,dx\,dy$ $
Esta integración termwise esto se convierte en $$\sum_{n = 0}^{\infty} {1 \over (3n + 1)^2 } - \sum_{n = 0}^{\infty} {1 \over (3n + 2)^2 } $ $
No creo que estas sumas tienen una forma cerrada en términos de funciones conocidas; en efecto estas son las funciones Poligamma que Julian Aguirre en su respuesta.
Julián Aguirre
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La integración de la primera en la $y$ da $$ -\int_0^1\frac{\pi-6\,\arctan\Bigl(\dfrac{2\,x+1}{\sqrt{3}}\Bigr)}{3\,\sqrt{3} x}\,dx, $$ que usted probablemente ya sabe. Mathematica no se evalúan.
El hecho de que el integrando depende de $x\,y$ sugiere el cambio de variables $\xi=x\,y$, $\eta=y$. El dominio $\{(x,y):0\le x\le1,\ 0\le y\le x\}$ es transformado en $\{(\xi,\eta):0\le\xi\le1,\ \xi\le\eta\le\sqrt{\xi}\,\}$, e $dx\,dy=d\xi\,d\eta/\eta$. Entonces $$\begin{align*} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{ dx\,dy}{1+x\,y+x^2\,y^2}&=2\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} \frac{dx\,dy}{1+x\,y+x^2\,y^2}\\ &=2\int_0^1\int_{\xi}^{\sqrt\xi}\frac{1}{1+\xi+\xi^2}\frac{d\xi\,d\eta}{\eta}\\ &=-\int_0^1\frac{\log\xi}{1+\xi+\xi^2}\,d\xi. \end{align*}$$ Esta última integral no es elemental, pero al menos Mathematica le da un valor interms de la PolyGammafunción: $$ \frac{1}{9}\Bigl(\operatorname{PolyGamma}[1, \frac23]-\operatorname{PolyGamma}[1,\frac13]\Bigr). $$ El valor numérico es $0.781302$.
Jedi Master Spooky
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El primer paso sería una $\arctan$ solamente. El denominador es $$1+xy+x^2y^2 =\left(\frac{1}{2}+xy\right)^2 + \frac{3}{4}$$ Por lo tanto, con $a=\frac{2}{\sqrt{3}}$ hemos $$\int\frac{dy}{1+xy+x^2y^2} =\int\frac{dy}{\left(\frac{1}{2}+xy\right)^2 + 1/a^2}=\qquad\qquad\qquad\text{ }\\ a^2\int\frac{dy}{a^2\left(\frac{1}{2}+xy\right)^2 + 1}= a^2\frac{\arctan(\frac{a}{2}+axy)}{ax} + C=\\un\frac{\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{2xy}{\sqrt{3}}\right)}{x} + C$$ de modo que $$\int_0^1\frac{dy}{1+xy+x^2y^2} = a\frac{\arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{2x}{\sqrt{3}})}{x} -\frac{\pi}{3\sqrt{3}}\frac{1}{x}$$ La integral de $\arctan(a+bx)/x$ no es tan fácil, que termina en dilogarithms...
