$\{x\}$ es la parte fraccional de $x$

Question

Que $\{x\}\;$ denotan la parte fraccionaria (no entero) de $x,\;$ así como ejemplos: $\{3\}= 0,\;$ $\{0.5\}=0.5\;$ y $\{\pi\} = \pi-3.\quad$ IF $\{n\} + \{2n\} = 1.2,\;$encuentran todos los posibles valores de $300\{n\}.$

Muy bien, así que este separado en casos donde $\{n\}< \frac12\quad$ y $\{n\}>\frac12.\quad$ si $\{n\}<\frac12,\quad$ y $\{2n\}\;$ voluntad todavía ser inferior a 1, por lo que sólo puedo hacer $\frac{1.2}{3} = 0.4 = \{n\}.\quad$ % que $300\{n\} = 120.\quad$sin embargo, no sé cómo enfocar el segundo caso donde $\{n\}>\frac12.$

Answer 1

Escriba $n=a+b$, donde $a$ es entero y $0\le b=\{n\}<1$. Observado correctamente eso si $b<1/2$, entonces el $2n=2a+2b$ % entero $2a$y $0\le 2b<1$; por lo tanto $\{2n\}=2b$. Por lo tanto, \{n\}+\{2n\}=3b $$ $$ y $3b=6/5$ implica $300\{n\}=300b=120$.

Si $b=1/2$, tenemos $2n=2a+2b=2a+1$% y tan $\{2n\}=0$. Así $\{n\}=6/5$, una contradicción.

Si $1/2<b<1$ y $2n=2a+2b$ y sabemos que $1<2b<2$, que $0<2b-1<1$; por lo tanto $2n=(2a+1)+(2b-1)$ y $\{2n\}=2b-1$. Por lo tanto $$ b +2b-1 = \frac {6} {5} $$

Answer 2

Podemos write,$$\{n\}+\{2n\}=1.2$$$$n-[n]+2n-[2n]=1.2$$$$3n-[n]-[2n]=1.2$$$$[n]+[2n]=3n-1.2$$$$[n]+[2n]=3(n-0.4)$$$$[n]+[2n]=3([n]+\{n\}-0.4)$$$$[n]+[2n]=3[n]+3(\{n\}-0.4)$$$$[2n]-2[n]=3(\{n\}-0.4)$$$$2[n]+[2\{n\}]-2[n]=3(\{n\}-0.4)$$$$[2\{n\}]=3(\{n\}-0.4) $$$% $ $3(\{n\}-0.4)=[2\{n\}]$

$$\bbox[5px,border:2px solid red]{\{n\}=\frac{[2\{n\}]}{3}+0.4}$$

$2\gt 2\{n\}\gt 1$

$$\{n\}=\frac{1}{3}+0.4$$ $$\{n\}=\frac{11}{15}$$ $$\bbox[yellow,5px]{300\{n\}=220}$$

$2\{n\}\lt 1$,

$$2\{n\}\lt 1$ $ $$\{n\}=\frac{0}{3}+0.4$ $ $$\{n\}=0.4$ $ Por lo tanto, $$\bbox[yellow,5px]{300\{n\}=120}$ $

Answer 3

Cuando $n\in (0.5,1) \implies 2n\in (1,2) $ $\{ 2n\}$ pertenece por lo tanto a $ (0,1) $. Ahora desde $\{n\}>0.5$ primero tratar de reducir el intervalo de $n$. Prueba con $0.6,0.65,0.7,0.75,0.8$ de esta consulte $n\in (0.7,0.75)$ por lo tanto, $2n\in (1.4.1.5) $. Volviendo a la ecuación y el uso de $x=[x]+\{x\}$ tenemos $n-[n]+2n-[2n]=1.2$. $\{x\}$ Es una función cada vez mayor entre dos números enteros así que tenemos una única solución. Por lo tanto % por lo tanto, la $n-0+2n-1=1.2 \implies n=0.7333.. $$300\{n\}\approx 220$.

Answer 4

Si $0\le\{n\}<\frac12$, entonces $\{2n\}=2\{n\}$de % que $300\{n\}=300\cdot\frac{1.2}3=120.$

Si $\frac12\le\{n\}<1$, entonces $\{2n\}=2\{n\}-1$de % que $300\{n\}=300\cdot\frac{2.2}3=220.$