¿$f$ es holomorfa si $f(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(\zeta)\, d \zeta}{\zeta - z}$?

Question

Estoy leyendo Gong Sheng es Conciso Análisis Complejo para obtener algunos conocimientos básicos.

En $\S 2.4$ página 61 Teorema 2.15 (Teorema de Hurwitz) dice

Teorema 2.15 (Teorema de Hurwitz) Deje $\{f_j\}$ ser una secuencia de holomorphic funciones en $U\subseteq \mathbb C$ que converge uniformemente a una función $f$ en cada subconjunto compacto de $U$. Si $f_j$ nunca es igual a cero en $U$ todos los $j$, luego $f$ es idéntica a cero o nunca es igual a cero en $U$.

Prueba: Para un punto arbitrario $z \in U \subseteq \mathbb C$, elija una simple curva cerrada $\gamma$ $U$ de manera tal que el interior de $\gamma$ contiene $z$. Desde $f_j$ es holomorphic en $U$, por Cauchy de la integral fórmula tenemos $$f_j(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f_j(\zeta)\,d \zeta}{\zeta-z}$$ Desde $\{f_j\}$ converge uniformemente en cada subconjunto compacto de $U$, tenemos $$\lim\limits_{j\to \infty} f_j(z) = \lim\limits_{j\to \infty} \frac{1}{2\pi j} \int_\gamma \frac{f_j(\zeta)\,d \zeta}{\zeta-z} = \frac{1}{2\pi j} \int_\gamma \lim\limits_{j\to \infty} \frac{f_j(\zeta)\,d \zeta}{\zeta-z} $$ De ello se desprende que $$f(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(\zeta) \, d \zeta}{\zeta - z}$$ Por lo tanto, $f(z)$ es un holomorphic función. Del mismo modo, podemos comprobar que la $\{f_j'(z)\}$ converge uniformemente a $f'(z)$ en cada subconjunto compacto de $U$.

Si $f(z)$ no es idénticamente cero, entonces por el Teorema 2.13, los ceros de $f$ son discretos. Deje $\gamma$ ser una curva que no pasan a través de estos ceros. Entonces $$\frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f_j'(\zeta)}{f_j(\zeta)\, d \zeta} \to \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f'(\zeta)}{f(\zeta)\, d \zeta}$$ como $j\to \infty$. Por la asunción y el Teorema 2.14, tenemos $$\frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f_j'(\zeta)}{f_j(\zeta)\, d \zeta} = 0$$ Por lo tanto, $$\frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f'(\zeta)}{f(\zeta)\, d \zeta} = 0$$ y $f(z)$ no tiene ningún cero en $U$.

Me pregunto por qué $f(z)$ es un holomorphic función una vez $f(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(\zeta) \, d \zeta}{\zeta - z}$?

Tan lejos de ese libro sólo sé tales formas para determinar si una función es holomorphic

1. Por definición, que es $f(z)$ es holomorphic en $U$, iff $\forall z\in U$, $\lim_{h\to 0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h}$ existe, aquí $h \in \mathbb C$.

2. De Cauchy-Riemann ecuación, es decir, si $f(z) \in \mathscr L ^1 (U)$ y cumple con los Cauchy-Riemann ecuación de $\frac{\partial f}{\partial x} = -i \frac{\partial f}{\partial y}$, $f$ es holomorphic en $U$ aquí $z=x+iy$.

3. El poder de expansión de la serie (serie de Taylor): $f(z)$ es holomorphic en $U$ fib $f$ tiene un poder de expansión de la serie $\forall z \in U$.

4. Morera teorema: Si $f(z)$ es continua en a $U$ y la integral de $f$ a lo largo de cualquier subsanables curva cerrada es cero, $f(z)$ es holomorphic en $U$.

Parece que ninguno de tales 1-4 podría llegar a la conclusión de que $f(z)$ es un holomorphic función?

Answer 1

Supongamos que $f$ es una función continua en el dominio $D$ del plano complejo, y tomar un simple cerrada curva suave a trozos $\gamma$ dentro $D$. Definir para $z\in D\setminus |\gamma|$ la función de $$F(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta$$

Si dejamos $d_z=d(\gamma,z)$ $z$ dentro $\gamma$, se puede utilizar la serie geométrica para mostrar que en cada uno de estos puntos de $F$ puede ser ampliado en un convergentes powerseries con radio mínimo de $d_z$, de donde se deduce $F$ es holomorphic. Ver por ejemplo la página 209 de Remmert la "Teoría de las Funciones Complejas."

Answer 2

Si había dicho $f(z) = \displaystyle\frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{g(\zeta) \, d \zeta}{\zeta - z}$ (con dos funciones, $f$ $g$ donde $g$ no se portó mal, entonces yo estaría pensando sobre el uso del teorema de Morera para mostrar $f$ es holomorphic. Pero aquí tenéis $f$ donde puedo poner $g$ anterior, y también en la izquierda. Vamos a ver si Morera todavía puede ayudar a nosotros. Deje $C$ ser una simple curva cerrada en el interior de la región que $\gamma$ rodea. El denominador abajo nunca se $0$ desde $C$ está en el interior de la región, y en el hecho de ser apartó de $0$ debido a que la curva $C$ es compacto y, entonces, se apartó de $\gamma$. \begin{align} \int_C f(z)\,dz & = \frac{1}{2\pi i} \int_C \int_\gamma \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\,d\zeta \,dz \overset{\text{ ??? }}= \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \int_C \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\,dz\,d\zeta \\[10pt] & = \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma\left( f(\zeta) \int_C \frac{1}{\zeta - z}\,dz\right)\,d\zeta = \frac 1 {2\pi i} \int_\gamma (f(\zeta)\cdot 0)\,d\zeta = 0. \end{align}

Nos puede intercambiar el orden de integración de esta manera si $f$ no está demasiado mal comportamiento. Si de alguna manera sabemos $f$ es continua, eso es suficiente, ya que estamos integrando sobre un conjunto compacto, por lo que es acotado, y con una limitada función en un conjunto finito de medida que podemos hacer eso. Justo lo que las hipótesis en $f$, o lo que otros hechos conocidos acerca de la $f$, lo que tienes?