Encontrar % independiente $X$y $Y$ que no están normalmente distribuidos s.t. $X+Y$ se distribuye normalmente.

Question

Es algo elemental hecho de que una suma de dos independientes normalmente distribuidas variables aleatorias $X$ $Y$ está distribuido normalmente (o, si se prefiere, la convolución de dos normales de las densidades es una densidad normal). ¿En qué medida este ir al revés? Parece que es $X$ $Y$ son independientes y $X$ se distribuye normalmente, a continuación, $Y$ está normalmente distribuida o constante.

Si se le cae tanto la independencia de $X$ $Y$ $X$ está distribuido normalmente, es bastante fácil, por ejemplo, tomar $X \sim \mathcal{N}(0,1)$, $Y = 1(X \geq 0)$ y considerar $U=XY$, $V=X \,1(Y = 0)$. Ahora ni $U$ o $V$ están distribuidos normalmente, sino $U+V = X$.

Sin embargo, si usted requiere de $X$ $Y$ a ser independiente, pero soltar el requisito de $X$ está distribuido normalmente, se parece más difícil. Hay un contraejemplo en ese caso, cuando $X$ $Y$ no están normalmente distribuidos, sino $X+Y$ es?

Answer 1

Considerar la distribución estable, que voy a indicar como $\text{Stable}(\alpha, \beta, c, \mu)$. Deje $X_1 \sim \text{Stable}(2, -1, \frac{1}{2}, 0)$$X_2 \sim \text{Stable}(2, 1, \frac{1}{2}, 0)$. Entonces la función característica de a $X_1 + X_2$ es \begin{align*} \varphi_{X_1 + X_2}(t) &= \varphi_{X_1}(t)\varphi_{X_2}(t) \\ &= \exp\left(-\frac{1}{4}t^2(1+i\text{sgn}(t)\Phi_2)\right)\exp\left(-\frac{1}{4}t^2(1-i\text{sgn}(t)\Phi_2)\right) \\&= \exp\left(-\frac{1}{2}t^2\right) \end{align*} cual es la función característica de a $N(0, 1)$.

Ediciones y Comentarios: Otra técnica que yo consideraba era el cumulant la generación de la función de una normal, que toma la forma $K(t) = at + bt^2$ (una forma cuadrática sin un término constante). Desde el cumulant de una suma de RV = la suma de los cumulants, es suficiente con considerar un RV tal que $K_{X_1}(t) = a_1t + b_1t^2 + h(t)$ $K_{X_2}(t) = a_1t + b_1t^2 - h(t)$ donde $h(t)$ debe satisfacer $h(0) = 0$. Si nos restringimos $h(t)$ para el conjunto de los polinomios de esto es suficiente para dejar que las $h(t)$ ser un grado 3 o superior polinomio. Por desgracia, esta distribución es imposible. Podríamos entonces vamos a $h(t)$ incluir fracciones de poderes < 2, pero el resultado de la distribución (transformada inversa de Laplace) sería super raro y no estoy seguro de si incluso podemos definir en términos de funciones elementales.