Campos magnéticos y el plano complejo

Question

El potencial electrostático $\varphi$ debe satisfacer la ecuación de Laplace en regiones sin cargo:

$$\nabla^2 \varphi = 0.$$

Si no es $z$ dependencia en el problema que estamos resolviendo, podemos elegir la real o complejo parte de un holomorphic función de ser un aceptable potencial.

Estoy interesado en la analogía de esta configuración de los campos magnéticos. Si usted tiene un cable de carga actual de forma perpendicular a un plano, entonces la integral de contorno del campo magnético en el plano en un bucle cerrado, $\gamma$

$$\int_\gamma \vec{B}\cdot \vec{dr} = \mu_0 I$$

donde $\mu_0$ es una constante y $I$ es la corriente en el alambre. En el avión, el campo magnético es de 2 dimensiones del vector de campo, por lo que esta expresión es una reminiscencia de los residuos teorema: de hecho, podemos elegir una función compleja $b(z)$ con un simple poste de la ubicación de el cable que da el campo magnético en cualquier punto de $z$ en el avión.

Mis preguntas son

1. ¿Cuáles son las hipótesis que aquí, como en cuando podemos describir el campo magnético en un avión por una función de meromorphic?
2. Hay una generalización de la diferenciable funciones complejas que tienen distinto de cero curl más de una región? Específicamente, podemos modelar no sólo el campo debido a un cable, pero también el campo debido a una región de penetrar en la densidad de corriente? Entiendo que cuando usted introduce el rizo, está perdiendo el "sabor" de holomorphic funciones, pero me preguntaba si las variables de complejo todavía estaban útil de alguna manera aquí.

Answer 1

Tenga en cuenta que los campos eléctricos de una colección de cargas puntuales pueden ser modelados como meromorphic funciones también. De esta manera, los campos eléctrico y magnético son realmente muy similares. Es importante que las fuentes (ya sea de cargos para el campo eléctrico o corrientes para el campo magnético) son "pointlike." Un pointlike cargo es sólo un punto de carga, mientras que un pointlike actual es la que se ve como un punto en una sección transversal 2d--debe ser un filamentosos actual. Así, el resumen de la carga y de las densidades de corriente no pueden ser manejados por meromorphic funciones.

Creo que para tu segunda pregunta, es mejor pensar las cosas de otra manera alrededor. Meromorphic funciones constituyen un subconjunto de los tipos más generales de la no-holomorphic funciones complejas, pero muchas de las mismas herramientas que utilizamos para el estudio de meromorphic funciones (por ejemplo, el teorema de los residuos) tienen análogos en 3d, cálculo vectorial. El teorema de los residuos es simplemente un caso especial de Stokes teorema:

$$\oint B \cdot d\ell = \int \nabla \times B \, dA$$

cuando la fuente de $B$ (es decir, corrientes) son filamentosos, a continuación, $\nabla \times B$ se compone de los aislados de funciones delta en el ámbito de la integración, exactamente en analogía a una función de meromorphic aislado con el no-analítica de puntos. Pero esta fórmula es válida para todos los tipos de fuentes de corriente, no sólo de los cables. Es la complejidad del análisis que se ha especializado, no el cálculo vectorial.

Sin embargo, usted puede todavía utilizar el análisis completo aquí. Generalmente hablando, para convertir de cálculo vectorial sobre un plano 2d para el análisis complejo, que suelen reemplazar $\nabla$$\partial/\partial \bar z$. Un producto cruzado es tomar la parte imaginaria del complejo de la multiplicación. Un producto escalar es tomar la parte real. Usted probablemente ha de lanzar en algunas conjugaciones en allí, así que $a \cdot a = |a|^2$ para un vector $a$.

Las conexiones entre el cálculo vectorial y análisis complejo son realmente muy amplio, para que ambos manejar los mismos principios subyacentes, sólo que en diferentes idiomas. Otro buen ejemplo es el de Cauchy de la Integral de la Fórmula. Escrito en el lenguaje de cálculo vectorial muestra que es sólo una aplicación de la función de Green para el vector de derivadas en el espacio libre, algo que usar en 3d todo el tiempo!

Por esta razón, generalmente prefiero a convertir a partir del análisis complejo para cálculo vectorial, no la otra manera alrededor. El último es, en mi mente, una forma más natural en el marco general de los problemas y todavía es capaz de todo análisis complejo es capaz de hacer, pero me imagino que esto es una cuestión de preferencia.