Ayuda a demostrar que: $\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}{1-x\over 1-xy}\cdot{x\over \ln{(xy)}}dxdy={1\over 2}\ln{1\over 2}$

Question

Estaba usando un integral doble para verificar algunas constantes.

Me encontré con éste.

Cómo podemos demostrar

$$\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}{1-x\over 1-xy}\cdot{x\over \ln{(xy)}}dxdy={1\over 2}\ln{1\over 2}$$

Mi intento:

$$\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\left[{x(1-xy)^{-1}\over \ln{(xy)}}-{x^2(1-xy)^{-1}\over \ln{(xy)}}\right]dxdy$$

Aplique serie binomial: $$\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\left[{x-x^2y+x^3y^2-x^4y^3+\cdots\over \ln{(xy)}}-{x^2-x^3y+x^4y^2-x^5y^3+\cdots\over \ln{(xy)}}\right]dxdy$ $

¿Me gustaria saber si podemos aplicar el teorema de Frullani en este momento?

Answer 1

Que $xy=u$ y $x=v$ para que su integral se convierte, con jacobiano $-1/v$, $$-\int_0^1\int_0^v\frac{1-v}{(1-u)\ln u}dudv$$ which you can solve by changing the oreder of integration as $% $ $-\int_0^1\int_u^1\frac{1-v}{(1-u)\ln u}dvdu=-\frac12\int_0^1\frac{1-u}{\ln u}du=\frac12\ln 2$