18 votos

Demuestra que cero multiplicado por cero es igual a cero.

Esta es mi prueba:

Entonces, $0\cdot0=0$

Y sabemos que

$a-a=0$

Por sustitución,

Podemos escribir $(a-a)(a-a)=0$

Luego, al simplificar, $a^2-a^2+a^2-a^2=0$

y entonces tenemos $0-0=0$,

Por lo tanto, $0=0$.

No estoy seguro de mi respuesta. ¿Podrías mostrarme otra forma de demostrarlo o alguna manera de mejorar mi respuesta? ¡Gracias!

17 votos

¿Qué es $0$? ¿Qué es la multiplicación? Digamos que $0\cdot0=p$. Dado que $0=0+0$, tenemos $p=0\cdot0=0\cdot(0+0)=0\cdot0+0\cdot0=p+p$. Por lo tanto, $p=p+p$, entonces $p-p=p+p-p$, es decir, $0=p$.

68 votos

Estás tratando de demostrar que $0*0=0$. Pero has asumido al principio, sin demostrar, que $0*0=0$. Por lo tanto, no hay forma posible de que esto funcione. También es imposible responder a tu pregunta sin saber qué se te permite asumir. (¿Axiomas de grupo? ¿Axiomas de campo? ¿Algo más?)

0 votos

Es solo una simple multiplicación de cero @Mirko.

54voto

Kyle Puntos 21

$0 \cdot 0 = 0$ porque $a \cdot 0 = 0$, que es un axioma de multiplicación en la aritmética de Peano.

0 votos

Huh, por lo general he tenido que derivar esto. Aunque tal vez dependa de lo que des por sentado... $a \cdot 0 = 0$ pero $0 + 0 = 0$ por lo tanto, $a \cdot 0 = a \cdot ( 0 + 0 ) = a \cdot 0 + a \cdot 0$. Entonces $a \cdot 0 = a \cdot 0 + a \cdot 0 \implies 0 = a \cdot 0$

13 votos

@Dair: ¿Estás seguro de que estás pensando en la aritmética de Peano? En cada formulación que he visto de la aritmética de Peano, $a \cdot 0=0$ es parte de la definición de multiplicación (y la propiedad distributiva es un teorema en lugar de un axioma). Tu prueba suena más como teoría de campos.

2 votos

@ruakh: Oh sí, eso probablemente es: estoy pensando en campos.

51voto

gagneet Puntos 4565

Haciendo tu demostración más rigurosa

La forma en que leo tu demostración, utilizas el signo $=$ para denotar lo que intencionas demostrar, no lo que ya has establecido. Podrías hacerlo más claro escribiendo $\overset?=$ en su lugar. Pero dejaré ese aspecto notacional a otras respuestas, y me concentraré en lo que creo que estás tratando de decir.

Podrías mejorar tu derivación declarando claramente qué conjunto de axiomas asumes, qué teoremas ya derivaste de estos axiomas (tanto como sean o al menos puedan ser relevantes) y cuáles de estos axiomas o teoremas usas en cada paso.

Si observas, por ejemplo, la definición de un anillo en Wikipedia, y comparas eso con tu demostración, podrías terminar con algo como esto:

  1. Sea $a$ un elemento arbitrario del anillo. Podrías simplificar la demostración eligiendo específicamente $a=0$ o $a=1$, pero seguiré tu enfoque. El hecho importante es que el conjunto subyacente no puede estar vacío, lo cual está garantizado por la existencia de las identidades aditiva y multiplicativa (que podrían ser iguales).
  2. Sea $-a$ el inverso aditivo de $a$, de modo que $a+(-a)=0$. Escribir esto como $a-a$ es una simplificación sintáctica que puede oscurecer lo que exactamente puedes asumir en un momento dado, así que no lo haría aquí.
  3. Sustituye eso en ambas ocurrencias de $0$ en $0\cdot 0$, para obtener $\bigl(a+(-a)\bigr)\bigl(a+(-a)\bigr)$. Podría ser suficiente sustituir uno, ya que de hecho $0\cdot a=0$ para cualquier $a$, pero nuevamente sigo tu enfoque.
  4. Usa la distributividad izquierda para separar el paréntesis derecho: $\bigl(a+(-a)\bigr)a + \bigl(a+(-a)\bigr)(-a)$.
  5. Usa la distributividad derecha dos veces para obtener $\bigl(a^2 + (-a)a\bigr) + \bigl(a(-a)+(-a)^2\bigr)$.
  6. Luego esencialmente simplificas $(-a)a$ a $-(a^2)$. Pero ¿cómo sabes que eso es válido? Podrías ser tentado a derivar eso de $a^2+\bigl(-(a^2)\bigr)=0=0\cdot a=\bigl(a+(-a)\bigr)a=a^2+(-a)a$. Pero en el segundo $=$ necesitarías mostrar que $0=0\cdot a$, que es una versión más general de lo que estás a punto de probar.

En este punto puedes ver que tu demostración tiene defectos, y puedes buscar formas de corregirlos o comenzar en una dirección diferente. Y espero que notes cómo la notación abreviada como el uso de menos como un operador binario puede llevar a descuidos al tratar con sistemas axiomáticos a un nivel tan bajo.

Un ejemplo práctico de una demostración bastante rigurosa

Si aplicas la misma notación a una variante de la demostración que Mirko sugirió, obtienes

  1. Considera $0\cdot a=b$ lo cual incluye el caso especial de $a=0$.
  2. Dado que $0$ es la identidad aditiva, tienes $0+0=0$.
  3. Sustituye 2. en 1. para obtener $(0+0)\cdot a=b$.
  4. Usa la distributividad derecha para obtener $0\cdot a+0\cdot a=b$.
  5. Sustituye 1. en esto para obtener $b+b=b$.
  6. Agrega $-b$, el inverso aditivo de $b$, a ambos lados: $(b+b)+(-b)=b+(-b)$.
  7. Aplica la asociatividad en el lado izquierdo para obtener $b+\bigl(b+(-b)\bigr)=b+(-b)$.
  8. Usa el hecho de que $b+(-b)=0$ ya que $-b$ fue elegido como el inverso aditivo. Así obtienes $b+0=0$.
  9. Y dado que $0$ es la identidad aditiva esto se simplifica a $b=0$.

Tomando todo junto, concluyes que $\forall a:0\cdot a=0$. Usando esencialmente los mismos pasos, puedes mostrar que $\forall a:a\cdot 0=0$. Cualquiera de estos incluirá $0\cdot0=0$ como un caso especial.

Si no te gusta el uso de $b$ como una abreviatura para $0\cdot a$, o si prefieres tratar con términos en lugar de ecuaciones, también puedes escribir este conjunto completo de transformaciones de términos:

\begin{align*} 0\cdot a &= 0\cdot a + 0 &&\textbf{identidad aditiva} \\&= 0\cdot a + \Bigl(0\cdot a + \bigl(-(0\cdot a)\bigr)\Bigr) &&\textbf{inverso aditivo} \\&= (0\cdot a + 0\cdot a) + \bigl(-(0\cdot a)\bigr) &&\textbf{asociatividad} \\&= (0 + 0)\cdot a + \bigl(-(0\cdot a)\bigr) &&\textbf{distributividad derecha} \\&= 0\cdot a + \bigl(-(0\cdot a)\bigr) &&\textbf{identidad aditiva} \\&= 0 &&\textbf{inverso aditivo} \end{align*}

Áreas de estudio alternativas

Si no estás hablando de anillos, entonces ¿de qué más estás hablando?

  • Si estás hablando de números naturales, hay varias formas de definirlos – o más bien la operación de multiplicación en estos.
    • Se podrían definir utilizando la aritmética de Peano, y como CommonerG señaló, $a\cdot0=0$ es parte de la definición de la multiplicación allí.
    • Se podrían definir como los cardinales de conjuntos finitos, con la multiplicación definida de la forma en que Martín-Blas Pérez Pinilla lo utilizó.
    • Otras definiciones conjuntistas representan los números mismos como conjuntos. No soy un experto en cómo se define la multiplicación en cada una de estas formalizaciones, pero supongo que probablemente se reducirá nuevamente a la aritmética de Peano.
  • Podrías estar hablando de enteros, racionales, reales o números complejos. Cada uno de estos usualmente está definido axiomáticamente de una manera que incluye los axiomas de anillos, o construido (, , , ) de una manera que eventualmente se construye sobre los números naturales, por lo que probarás allí y luego usarás los detalles de la construcción para propagar ese hecho.
  • La aritmética cardinal transfinita es una generalización de esta definición basada en cardinales a cardinales infinitos. No hace ninguna diferencia para $0$. La aritmética ordinal transfinita tiene definiciones diferentes, así que sé preciso en cuál estás utilizando.

2 votos

+1 por dejar claro que $a0 =0$ y la ley distributiva son interdependientes a nivel de fundamento. En los anillos, la segunda es un axioma. Al definir aritmética de forma inductiva en los números naturales, es una consecuencia de lo primero.

1 votos

@MvG esta es una excelente respuesta. Tomando los propios trabajos de un estudiante y ampliándolos. Debería ser la respuesta aceptada en mi opinión.

0 votos

Acabo de darme cuenta de que la cosa a demostrar es una variante Campos - Demostración de que todo múltiplo de cero es cero. Más especial ya que es solo $0\cdot0$ no $0\cdot a$, pero al mismo tiempo quizás más general ya que no se trata explícitamente de campos, y por lo tanto puede tratarse de anillos. Mi demostración como una secuencia de transformaciones de términos se asemeja estrechamente a la de Adriano allí.

48voto

Michael Hardy Puntos 128804

Tienes tus "si" y "entonces" en el orden incorrecto.

Dices "tenemos $(a-a)(a-a)=0$." Pero no tienes eso a menos que sepas $0\cdot0=0$. Luego continúas diciendo que al simplificar, obtienes $a^2-a^2+a^2-a^2=0$. Pero el hecho de que $a^2-a^2+a^2-a^2=0$ es algo que sabes antes de terminar de demostrar que $0\cdot0=0$. Entonces deberías decir primero $a^2-a^2+a^2-a^2=0$ y luego deducir (mediante el factorización) que $(a-a)(a-a)=0. Lo que deduces de qué es lo que tienes al revés.

Al final dices "Por lo tanto $0=0$", pero nuevamente eso es algo que sabes antes de terminar de demostrar que $0\cdot0=0$, así que nuevamente tienes tu "si" y tu "entonces" intercambiados.

2 votos

Básicamente, escribe tu demostración en orden inverso y ajusta los conectivos

1 votos

En mi publicación afirmo que al menos al usar los axiomas para anillos, la prueba original está fallida de una manera más fundamental, al hacer uso esencialmente de la proposición al simplificar $(-a)a$ a $-(a^2)$. No especificaste qué axiomas asumiste, ¿qué tenías en mente? ¿Conoces un conjunto de axiomas comúnmente utilizado que no tendría este problema, que no sería la aritmética de Peano, y donde "revertir la prueba" en realidad la haría válida?

4 votos

@MvG: En realidad, no me preocupaba hacer la prueba completa y válida, sino solo señalar un problema en ella, lo cual es algo de lo que preocuparse en prácticamente todas las pruebas. La proposición que mencionas, $(-a)a = -(a^2)$, es cierta en anillos en general, por lo que a lo sumo este ejemplo muestra que la prueba está incompleta. $\qquad$

14voto

Mirko Puntos 5620

Decimos que $0\cdot0=p$. Necesitamos demostrar que $p=0$. Usamos que $0+0=0.
Entonces $p=0\cdot0=0\cdot(0+0)=0\cdot0+0\cdot0=p+p.
Por lo tanto $p=p+p$, y $0=p-p=p+p-p=p$, lo que completa la prueba.

Pregunté en los comentarios qué es $0$ y qué es la multiplicación.
Tu respuesta fue "Es simplemente una multiplicación de cero".
Entonces, ¿qué es una "multiplicación simple de cero"? Y, ¿qué es cero?

Lo anterior es una posible prueba, dependiendo de qué supuestos se parta. De la misma manera podríamos probar que $r\cdot0=0$, para cada $r$. De hecho, sea $r\cdot0=q$. Entonces $q=r\cdot0=r\cdot(0+0)=r\cdot0+r\cdot0=q+q.
Por lo tanto $q=q+q$, así que $0=q-q=q+q-q=q.

Para que la prueba se vea como la tuya, empezamos con $0\cdot0$ y transformamos esto en $0.
De hecho $0\cdot0=(a-a)(a-a)=a^2-a^2+a^2-a^2=0+0=0.

1 votos

@Mirko Solo un pequeño comentario: En la tercera línea es bastante confuso que escribas $0$ nuevamente en lugar de $p$ (en la última ecuación).

0 votos

@noctusraid Gracias, corregí $0=p-p=p+p-p=0$ a $0=p-p=p+p-p=p$, esto último era lo que quería decir pero debe haber pasado por alto lo que había escrito.

11voto

Steven Lu Puntos 866

La prueba teórica de conjuntos: $$ 0 = |\emptyset|,\quad |A|\cdot|B| = |A\times B|\implies 0\cdot 0 = |\emptyset|\cdot|\emptyset| = |\emptyset\times\emptyset| = |\emptyset| = 0. $$

1 votos

Me encantaría ver cómo eso es relevante para la multiplicación de números.

0 votos

@gnasher729, los números naturales son los cardinales de conjuntos finitos.

0 votos

@MorganRodgers, 0 es un número natural.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X