Haciendo tu demostración más rigurosa
La forma en que leo tu demostración, utilizas el signo $=$ para denotar lo que intencionas demostrar, no lo que ya has establecido. Podrías hacerlo más claro escribiendo $\overset?=$ en su lugar. Pero dejaré ese aspecto notacional a otras respuestas, y me concentraré en lo que creo que estás tratando de decir.
Podrías mejorar tu derivación declarando claramente qué conjunto de axiomas asumes, qué teoremas ya derivaste de estos axiomas (tanto como sean o al menos puedan ser relevantes) y cuáles de estos axiomas o teoremas usas en cada paso.
Si observas, por ejemplo, la definición de un anillo en Wikipedia, y comparas eso con tu demostración, podrías terminar con algo como esto:
- Sea $a$ un elemento arbitrario del anillo. Podrías simplificar la demostración eligiendo específicamente $a=0$ o $a=1$, pero seguiré tu enfoque. El hecho importante es que el conjunto subyacente no puede estar vacío, lo cual está garantizado por la existencia de las identidades aditiva y multiplicativa (que podrían ser iguales).
- Sea $-a$ el inverso aditivo de $a$, de modo que $a+(-a)=0$. Escribir esto como $a-a$ es una simplificación sintáctica que puede oscurecer lo que exactamente puedes asumir en un momento dado, así que no lo haría aquí.
- Sustituye eso en ambas ocurrencias de $0$ en $0\cdot 0$, para obtener $\bigl(a+(-a)\bigr)\bigl(a+(-a)\bigr)$. Podría ser suficiente sustituir uno, ya que de hecho $0\cdot a=0$ para cualquier $a$, pero nuevamente sigo tu enfoque.
- Usa la distributividad izquierda para separar el paréntesis derecho: $\bigl(a+(-a)\bigr)a + \bigl(a+(-a)\bigr)(-a)$.
- Usa la distributividad derecha dos veces para obtener $\bigl(a^2 + (-a)a\bigr) + \bigl(a(-a)+(-a)^2\bigr)$.
- Luego esencialmente simplificas $(-a)a$ a $-(a^2)$. Pero ¿cómo sabes que eso es válido? Podrías ser tentado a derivar eso de $a^2+\bigl(-(a^2)\bigr)=0=0\cdot a=\bigl(a+(-a)\bigr)a=a^2+(-a)a$. Pero en el segundo $=$ necesitarías mostrar que $0=0\cdot a$, que es una versión más general de lo que estás a punto de probar.
En este punto puedes ver que tu demostración tiene defectos, y puedes buscar formas de corregirlos o comenzar en una dirección diferente. Y espero que notes cómo la notación abreviada como el uso de menos como un operador binario puede llevar a descuidos al tratar con sistemas axiomáticos a un nivel tan bajo.
Un ejemplo práctico de una demostración bastante rigurosa
Si aplicas la misma notación a una variante de la demostración que Mirko sugirió, obtienes
- Considera $0\cdot a=b$ lo cual incluye el caso especial de $a=0$.
- Dado que $0$ es la identidad aditiva, tienes $0+0=0$.
- Sustituye 2. en 1. para obtener $(0+0)\cdot a=b$.
- Usa la distributividad derecha para obtener $0\cdot a+0\cdot a=b$.
- Sustituye 1. en esto para obtener $b+b=b$.
- Agrega $-b$, el inverso aditivo de $b$, a ambos lados: $(b+b)+(-b)=b+(-b)$.
- Aplica la asociatividad en el lado izquierdo para obtener $b+\bigl(b+(-b)\bigr)=b+(-b)$.
- Usa el hecho de que $b+(-b)=0$ ya que $-b$ fue elegido como el inverso aditivo. Así obtienes $b+0=0$.
- Y dado que $0$ es la identidad aditiva esto se simplifica a $b=0$.
Tomando todo junto, concluyes que $\forall a:0\cdot a=0$. Usando esencialmente los mismos pasos, puedes mostrar que $\forall a:a\cdot 0=0$. Cualquiera de estos incluirá $0\cdot0=0$ como un caso especial.
Si no te gusta el uso de $b$ como una abreviatura para $0\cdot a$, o si prefieres tratar con términos en lugar de ecuaciones, también puedes escribir este conjunto completo de transformaciones de términos:
\begin{align*} 0\cdot a &= 0\cdot a + 0 &&\textbf{identidad aditiva} \\&= 0\cdot a + \Bigl(0\cdot a + \bigl(-(0\cdot a)\bigr)\Bigr) &&\textbf{inverso aditivo} \\&= (0\cdot a + 0\cdot a) + \bigl(-(0\cdot a)\bigr) &&\textbf{asociatividad} \\&= (0 + 0)\cdot a + \bigl(-(0\cdot a)\bigr) &&\textbf{distributividad derecha} \\&= 0\cdot a + \bigl(-(0\cdot a)\bigr) &&\textbf{identidad aditiva} \\&= 0 &&\textbf{inverso aditivo} \end{align*}
Áreas de estudio alternativas
Si no estás hablando de anillos, entonces ¿de qué más estás hablando?
- Si estás hablando de números naturales, hay varias formas de definirlos – o más bien la operación de multiplicación en estos.
- Se podrían definir utilizando la aritmética de Peano, y como CommonerG señaló, $a\cdot0=0$ es parte de la definición de la multiplicación allí.
- Se podrían definir como los cardinales de conjuntos finitos, con la multiplicación definida de la forma en que Martín-Blas Pérez Pinilla lo utilizó.
- Otras definiciones conjuntistas representan los números mismos como conjuntos. No soy un experto en cómo se define la multiplicación en cada una de estas formalizaciones, pero supongo que probablemente se reducirá nuevamente a la aritmética de Peano.
- Podrías estar hablando de enteros, racionales, reales o números complejos. Cada uno de estos usualmente está definido axiomáticamente de una manera que incluye los axiomas de anillos, o construido (ℤ, ℚ, ℝ, ℂ) de una manera que eventualmente se construye sobre los números naturales, por lo que probarás allí y luego usarás los detalles de la construcción para propagar ese hecho.
- La aritmética cardinal transfinita es una generalización de esta definición basada en cardinales a cardinales infinitos. No hace ninguna diferencia para $0$. La aritmética ordinal transfinita tiene definiciones diferentes, así que sé preciso en cuál estás utilizando.
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¿Qué es $0$? ¿Qué es la multiplicación? Digamos que $0\cdot0=p$. Dado que $0=0+0$, tenemos $p=0\cdot0=0\cdot(0+0)=0\cdot0+0\cdot0=p+p$. Por lo tanto, $p=p+p$, entonces $p-p=p+p-p$, es decir, $0=p$.
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Estás tratando de demostrar que $0*0=0$. Pero has asumido al principio, sin demostrar, que $0*0=0$. Por lo tanto, no hay forma posible de que esto funcione. También es imposible responder a tu pregunta sin saber qué se te permite asumir. (¿Axiomas de grupo? ¿Axiomas de campo? ¿Algo más?)
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Es solo una simple multiplicación de cero @Mirko.
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¿Qué lo califica como "simple multiplicación de cero"? Para las pruebas de propiedades básicas desde los axiomas, es críticamente importante especificar los axiomas.
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Entonces, ¿cómo debería iniciar el flujo de mi prueba @david? Gracias por la ayuda. :)
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Antes de "iniciar el flujo de [tu] prueba", tienes que dejar claro cuál es la pregunta. Consulta mi comentario anterior.
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Como mencionó @David, comenzaste asumiendo lo que quieres probar, y esto no constituye una prueba válida. Pero también hay que notar que tu conclusión es incorrecta: escribes "Por lo tanto $0=0$", pero esto no es lo que necesitas probar. De hecho, tu prueba está un poco al revés: podrías comenzar con $0=0$, ya que esto se sigue de la definición de igualdad, e intentar terminar con $0\cdot0 = 0. (Aunque en este caso, una mejor prueba se basa en un axioma por parte de @CommonerG).
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No sabía que vería humor en este sitio web.
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Las matemáticas no son divertidas, los matemáticos lo son
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Seguiría de (a + b) * c = a_c + b_c con el caso especial b = 0 que te permite demostrar que 0*c = 0 para todo c, y luego el caso especial c = 0.
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Aquí está tu prueba con un pequeño cambio, esperemos que te muestre por qué obtener los pasos al revés es incorrecto: "Entonces, 00=1. Y sabemos que aa=0. Por sustitución, tenemos (aa)(aa)=1. Luego, al simplificar, a²a²+a²a²=1 y luego tenemos 00=1. Por lo tanto, 0 = 1."
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¿Por qué esta pregunta recibió tantos votos positivos?
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He pasado horas en esto en el grupo gratuito con un elemento (llamado "$0$") y parece que la afirmación es falsa. ¿Qué tipo de objeto es este "$0$" del que afirmas que tiene esta propiedad y de qué es un elemento? (Esto hace eco a la(s) pregunta(s) final(es) de @David).
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¿Cómo defines la multiplicación?
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@EricTowers Si tu grupo tiene solo un elemento, ¿cómo puedes escribir alguna ecuación que sea falsa?
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@DanielWagner: Enséñame a intentar ser gracioso... Debería haber escrito rápidamente "un generador" en lugar de "un elemento". Meh.
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@MaskedMan: ¿Cómo defines "definir"? Ob SMBC: smbc-comics.com/comics/20101024after.gif
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Su pregunta no está clara. Sé que ya recibió una respuesta que resolvió su problema, pero aún me intriga cuál era su pregunta. ¿Qué está intentando hacer? ¿Está tratando de ver si hay un sistema de prueba diferente con axiomas y definiciones distintas que terminen demostrando exactamente las mismas afirmaciones sobre los números naturales que el suyo? ¿Hubiera estado satisfecho si hubiera recibido una respuesta que, según una definición, la multiplicación es una adición iterada pero no puede tener una expresión de adición con 0 términos, por lo que la multiplicación por 0 no está definida según esa definición?