$\mathbb {R}[x,y]/(y^2-x, y-x)$ No es un dominio integral

Question

Que $\mathbb{R}[x,y]$ denota el anillo de polinomio en dos variables $x$, $y$ $\mathbb{R}$, y que $I = (y^2-x,y-x)$ ser el ideal generado por $y^2-x$ y $y=x$. Muestran que $$\mathbb{R}[x,y]/I no es un dominio integral.

Para ser honesto, no tengo ni idea a resolver esta cuestión. Pienso que si el $\mathbb{R}[x,y]/I$ no es un dominio integral, $I$ es ni un ideal principal no es un ideal maximal. Pero no sé probar. ¿Por favor me podrias ayudar? ¡Muchas gracias!

Answer 1

$\mathbb R [x,y] / (y-x) \cong \mathbb R[y]$ (trivial), y factoraje por $(y^2-x)$ en el anterior significa factoraje por $(y^2-y)$ en el último. Y $\mathbb R[y]/(y^2-y)$ no es un dominio, puede ver usted por qué?

Answer 2

La regla de oro. En un anillo el factor $R/I$ tenemos Foro de $a=0\bmod I$$a\in I$(donde $a\in R$).

En tu ejemplo $y^2=x\bmod I$ y $y=x\bmod I$. Esto nos da un $y^2=y\bmod I$, que $y(y-1)=0\bmod I$, y esto sugiere que el $y\bmod I$ y $y-1\bmod I$ son cero divisores en $R/I$. (Aquí $R=\mathbb R[x,y]$.)
Sin embargo tenemos que comprobar que no son cero. Por ejemplo, supongamos que $y=0\bmod I$. Entonces, de la regla de oro, $y\in I$, es decir, $y\in (y^2-x,y-x)$. Ahora escribir $$y=(y^2-x)f(x,y)+(y-x)g(x,y),$$ and for $x=y=1$ we get $1=0$, a contradiction. (Do the same for $y-1\bmod I$.)

Answer 3

Sugerencia: Piense en su ideal como $\langle y^2-x\rangle+\langle y-x\rangle$. Así nos dejó cociente $\mathbb R[x,y]$ $\langle y-x\rangle$ primero. ¿Qué conseguimos? En este nuevo anillo, $y=x$, así que enchufe el otro ideal para reducir nuestro cómputo a un anillo con una única variable! Debe ser mucho más fácil ahora.

Trabajar a través de las cosas de arriba y me avisas si quieres más consejos

Answer 4

El ideal de $I=(y^2-x,x-y)$ no es primo, ya $y^2-y=(y^2-x)+(x-y)$ se encuentra en $I$, pero ni $y$ ni $y-1$ se encuentra en $I$. De hecho, la escritura

$$y=p(x,y)(x^2-y)+q(x,y)(x-y)$$ and setting $x=y=1$ we get $1=0$, which is impossible. The same argument holds for $y-1$. Geometrically, $k[x,y]/(x^2-y,y-x)$ should codify the intersection of the parabola $x^2=y$ with the line $y=x$. This is just the points $(1,1)$ and $(0,0)$, and this corresponds to an isomorphism of such quotient with the non domain $k\veces k$.

Uno no debe dejarse llevar por las simplificaciones, sin embargo. Si hubiéramos tomado como alternativa a la tangente de la línea de $y=0$$(0,0)$, el resultado del cociente de la $k[x,y]/(x^2-y,y)=k[x]/(x^2)=k[\varepsilon]$ aún no es de dominio a pesar de la intersección es "un punto" (no lo es: se trata de un doble punto, si usted puede): esto es debido a que la tangente a la parábola intersecta con multiplicidad dos. Nota de que el anillo no está más desconectado (que es, un producto directo de $k\times k$), y de hecho esta codifica dicha intersección tangencial: un elemento del anillo de $a+b\varepsilon$ es especificado por un escalar $a$ y una pequeña perturbación $b\varepsilon$$\varepsilon^2=0$.