Encontrar un polinomio trigonometric

Question

Estoy tratando de resolver el ejercicio 5 en el capítulo 14 de Rudin Real Y Complejo Análisis:

Supongamos $f$ es un trigonométricas polinomio, $$f(\theta) = \sum_{k=-n}^n a_k e^{ik\theta}$$ y $f(\theta) > 0$ para todos los verdaderos $\theta$. Demostrar que existe un polinomio $P(z) = c_0 + c_1z + ... + c_nz^n$ tal que $f(\theta)= |P(e^{i\theta})|^2$ ($\theta$ real).

He hecho buenos progresos pero no puedo terminar. Mis pensamientos:

Definir $F(z) = \sum_{k=-n}^n a_k z^k$. Esta es una función racional que es positivo en el círculo unidad, así que debe ser de la forma: $$F(z) = c \prod_{j=1}^n\frac{(z-\beta_j)(1-\overline\beta_j z)}{(z-\gamma_j)(1-\overline\gamma_j z)}$$

donde $c > 0$. $\beta_j$ son los ceros de $F$. $\gamma_j$ son polacos.

En el círculo unidad $$f(\theta) = F(e^{i\theta}) = c \prod_{j=1}^n\frac{(e^{i\theta}-\beta_j)(1-\overline\beta_j e^{i\theta})}{(e^{i\theta}-\gamma_j)(1-\overline\gamma_j e^{i\theta})}$$

Los términos en el producto para simplificar $$\left| \frac{e^{i\theta} - \beta_j}{e^{i\theta} - \gamma_j} \right|^2$$

Si puedo demostrar que esto es un polinomio, voy a resolver el ejercicio, pero no se ve como un polinomio para mí.

Hay una manera mejor?

Answer 1

Escribir la respuesta aquí para cerrar la pregunta. Gracias a @5 pm por la pista.

Desde $z^k F(z)$ es un polinomio. $z = 0$ es el único polo de $F$ y % todos $\gamma_j = 0$. Esto hace que el último término en la pregunta de un polinomio.