Probar homotópicas adjuntando mapas dan homotopía espacios equivalente conectando un celular

Question

Demostrar: Si $f,g:S^{n-1} \to X$ son homotópica mapas, a continuación, $X\sqcup_fD^n$ $X\sqcup_gD^n$ son homotopy equivalente.

Creo que puede ser demostrado por mostrar que ambos son la deformación se retrae de $X\sqcup_H(D^n\times I)$ donde $H$ es el homotopy entre el$f$$g$.

Sin embargo, me lo han puesto difícil probar que la deformación se retrae mapa continuo. De hecho, tengo dificultad en la representación de un mapa en el cociente espacios como $X\sqcup_fD^n$. Creo que un mapa de $X\sqcup_fD^n$ $W$puede ser representado por dos mapas: $m_1: X\to W$, $m_2: D^n\to W$, donde para $x\in S^{n-1}$, $m_1\circ f(x)=m_2\circ i(x)$.

Luego construyo la deformación retractarse de esta manera: $m_1: X\to X$. Para $x\in H(S^{n-1},t)$, $m_1(x)=H(S^{n-1},0)$, de lo contrario,$m_1(x)=x$.

$m_2: D^n\times I\to D^n\times {0}$: $m_2((D^n,t))=(D^n,0)$.

Es fácil comprobar que $m_1$ $m_2$ definir un mapa de$X\sqcup_H(D^n\times I)$$X\sqcup_fD^n$. Como esta es una continua mapa, obvioulsy, a continuación, nos encontramos con una deformación retractarse. Pero parece un mapa no es continua?

Answer 1

Hay una retracción de $D^n\times I\twoheadrightarrow D^n×\{0\}\cup S^{n-1}×I$ definidos a través de $$r(x,t)=\begin{cases} \left(\frac{2x}{2-t},\ 0\right) &\text{, if }t\le2(1-||x||) \\ \left(\frac x{||x||},2-\frac{2-t}{||x||}\right)&\text{, if }t\ge2(1-||x||) \end{casos}$$ It is easy to prove that this map is well-defined and continuous and a retraction. Then $$d:D^n×I×I\to D^n×I\\ d(x,t,s)=sr(x,t)+(1-s)(x,t)$$ es un homotopy entre la identidad y la $r$, lo $r$ es una deformación de retracción. Pero, a continuación, $(D^n×I)\cup_F X$ deformación se retrae en $(D^n×\{0\}\cup S^{n-1}×I)\cup_F X=(D^n×\{0\})\cup_f X$

Tenga en cuenta que un pushout plaza ($A,X$, e $B$ son arbitrarias espacios)
$\ $ da lugar a un pushout plaza de$\ $

porque el cociente de mapa de $q:X\sqcup B\to X\cup_f B$ induce un cociente mapa $q\times 1:X\times I\sqcup B\times I\to(X\cup_f B)\times I$.
Esto significa que un par de homotopies $F_t:X→Y$, $G_t:B→Y$, tal que $F_ti=G_t f$ todos los $t\in I$, induce una homotopy $H_t:X∪_f B→Y$
Esa es la razón por la que una deformación de retracción en $D^n×I$ induce una deformación de retracción en el pushout $(D^n×I)\cup_F X$

Hay más general resultado: Si $(X,A)$ es cofibered, a continuación, $X×I$ deformación se retrae a $X×\{0\}\cup A×I$, por lo que si $X$ se conecta a través de dos homotópica mapas de $f$ $g$ a un espacio de $B$, $X\cup_f B$ $X\cup_g B$ son homotopy equivalente.

Answer 2

Esto se demuestra también en topología y grupoides (como lo fue en la edición de 1968, "Elementos de moderno topología"); Esto tiene algunas fotos del mapeo crucial cilindro construcción $M(f) \cup X$ que, si el $i: A \to X$ es un cofibration, es un modelo útil del espacio de la adjunción $B \cup _f X$ $f: A \to B$. Aquí tiene una foto coloreada de la homotopía Fig 7.10:

Answer 3

Acabo de enterarme de que el hecho de que tanto la contigüidad espacios son homotopy equivalente a cada uno de los otros puede ser visto como una consecuencia inmediata de una propiedad general:

Deje $h\mathbf{Top}^B$ denotar la homotopy categoría en la $B$, el cociente de la categoría de $(B\downarrow\mathbf{Top})$ donde identificamos $f\sim g:i\to j$ si hay homotopy $H:f\simeq g$ bajo$B$$H(i\times 1)=j$. Deje $\pi B^A$ denotar la pista groupoid cuyos objetos son los mapas de $A→B$ y cuyas flechas son homotopies $H:f\simeq g$ donde $H$ $K$ se identifican si hay una continua deformación entre ellos, que deja a $f$ $g$ fijo.
La declaración es que, si $j:A\to X$ es un cofibration, existe un functor contravariante $\beta$ a partir de la pista groupoid $\pi B^A$ a la categoría de $h\mathbf{Cof}^B$, el pleno de la subcategoría de $h\mathbf{Top}^B$ cuyos objetos son cofibrations. Esta $\beta$ asigna a un $f:A→B$ el cofibration $j_f:B\to X\cup_f B$, y a una de morfismos $[\phi]:f→g$ el homotopy clase $[k]$ de los mapas $j_g\to j_f$ donde $k$ es inducida por la ampliación de la homotopy $\phi:A→B$ a un homotopy $\Phi:X→X\cup_f B$ y ajuste de $k=\Phi_1\cup j_f$.

Usted puede encontrar la prueba en tom Dieck de la Topología Algebraica , donde es el teorema de $5.1.9$

Tenga en cuenta que $[k]=\beta[\phi]$ es un isomorphisms por functoriality, por lo tanto, un homotopy de equivalencia.