¿Cómo corresponde un hiperplano en el espacio proyectivo a la Lámina de Torsión de Serre

Question

Referencia: Hartshorne,Capítulo 2, Proposición 6.17

$X= \mathbb P ^n _k$ para algún campo k. Entonces el generador de la $Cl (X)$ (que es el grupo de los divisores de weil módulo del divisor principal) está generado por un hiperplano que corresponde a la gavilla invertible $\mathcal O(1)$ .

No entiendo cómo un hiperplano corresponde a la gavilla invertible $\mathcal O(1)$

¿Puede alguien ayudar, por favor?

Answer 1

No es cierto que un hiperplano corresponda a la gavilla invertible $\mathcal O(1)$ . Lo que sí es cierto, es que el clase de un hiperplano corresponde a la gavilla invertible $\mathcal O(1)$ .

Aquí está (un esbozo de) la correspondencia. La gavilla $\mathcal O(1)$ está generada por secciones globales, y las secciones corresponden a hiperplanos en $X$ . Recordemos que la gavilla está generada por $x_0,\cdots,x_n$ . Ahora dos hiperplanos cualesquiera representan la misma clase no trivial en $\mathrm{Cl}(X)$ porque si $H_1$ es el conjunto cero de $a_0x_0+\cdots+a_nx_n$ y $H_2$ es el conjunto cero de $b_0x_0+\cdots+b_nx_n$ entonces $H_2-H_1=((a_0x_0+\cdots+a_nx_n)/(b_0x_0+\cdots+b_nx_n))$ por lo que son iguales en $\mathrm{Cl}(X)$ .

Así, la clase de un hiperplano corresponde a todas las secciones globales de $\mathcal O(1)$ y, por tanto, podemos identificar estos dos conjuntos (para nuestros fines). Y como $\mathcal O(1)$ se genera por secciones globales, determinan $\mathcal (X)$ .

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He aquí un ejemplo de lo que se entiende por "generado por una sección hiperplana". Sea $D$ sea el divisor definido por la gavilla ideal $(x^3) \subseteq \mathcal O_X$ . Esto corresponde al divisor $(x^3)=3(x)$ es decir, 3 veces un hiperplano. Del mismo modo, todo divisor en $\mathbb P^n$ se determina por su grado.