Cálculo de secciones globales de gavillas

Question

Consideremos el espacio proyectivo habitual $\mathbb{P}^{1} = \mathbb{C} \cup \{\infty\}$ y el divisor de Weil $D = \{0\} \subset \mathbb{C} \subset \mathbb{P}^{1}$ . Escribiendo el espacio proyectivo como la unión de los conjuntos abiertos, obtenemos $\mathbb{P}^{1} = U_{0} \cup U_{1}$ , utilizando $U_{0} = Spec(\mathbb{C}[t]), U_{1} = Spec(\mathbb{C}[t^{-1}])$ obtenemos $\mathbb{C}(\mathbb{P}^{1}) = \mathbb{C}(t)$ .

Definición de $\Gamma(\mathbb{P}^{1},O_{\mathbb{P}^{1}}(D))=\{f\in \mathbb{C}(t)^{*} | div(f) + D \geq 0\} \cup \{0 \}$ se afirma entonces que se deduce fácilmente que las secciones globales son $1,t^{-1} \in \Gamma(\mathbb{P}^{1},O_{\mathbb{P}^{1}} (D))$ (cf. Introduction to Toric Varieties Cox, Little, and Schenck p. 247).

Además, afirma que la multiplicación por $f$ da un homomorfismo de gavilla $O_{\mathbb{P}^{1}}(-D) \to O_{\mathbb{P}^{1}}$ y que hacer esto para $1, t^{-1} \in \Gamma(\mathbb{P}^{1},O_{\mathbb{P}^{1}} (D))$ da $$O_{\mathbb{P}^{1}}(-D) \oplus O_{\mathbb{P}^{1}}(-D) \to O_{\mathbb{P}^{1}}$$

¿Podría alguien explicar en detalle estas implicaciones? Soy bastante nuevo en la teoría de gavillas y tengo problemas para seguir los argumentos de este ejemplo. Sé que definimos $div(f) = \sum \nu_{D}(f) D_{f}$ , donde $\nu$ es la valoración, pero sigo sin ver la implicación anterior.

Gracias

Answer 1

Las secciones globales $\Gamma(\mathbb{P}^1, \mathcal{O}(D))$ son, por definición, las funciones racionales $f(t) \in \mathbb{C}(t)$ que tienen, en el peor de los casos, un simple poste en $t=0$ y son regulares en otros lugares, por lo que podemos escribir $$f(t) = [\textrm{global regular function}] + \frac{1}{t} [\textrm{global regular function}].$$ Sin embargo, las funciones regulares globales en $\mathbb{P}^1$ son precisamente las constantes, por lo que $\Gamma(\mathbb{P}^1, \mathcal{O}(D))$ es un 2-dimensional $\mathbb{C}$ -espacio vectorial con base $\{ 1 , t^{-1} \}$ .

Esto contrasta con las secciones globales de $\mathcal{O}(-D)$ son las funciones racionales $g(t) \in \mathbb{C}(t)$ que tienen un cero simple al menos un cero simple en $t=0$ son habituales en otros lugares. En particular, una función de este tipo es regular en todas partes, y por tanto constante. La única función constante que satisface este criterio es la función cero, por lo que $\Gamma(\mathbb{P}^1, \mathcal{O}(-D)) = 0$ .

Sabiendo esto, ¿puedes describir el morfismo $\mathcal{O}(-D) \to \mathcal{O}$ ?

Edición 1 : He aquí un cálculo más cuidadoso de las secciones globales $\Gamma(\mathbb{P}^1, \mathcal{O}(D))$ .

Una sección global $s \in \Gamma(\mathbb{P}^1, \mathcal{O}(D))$ consta de 2 datos: una sección $s|_{U_0} = f_0 \in \Gamma(U_0, \mathcal{O}(D))$ y una sección $s|_{U_1} = f_1 \in \Gamma(U_1 , \mathcal{O}(D))$ que coinciden en la intersección $U_0 \cap U_1$ . Desde $0 \in U_0$ , $f_0$ es una función racional en $t$ con un polo (de orden como máximo $1$ ) en $t=0$ . Desde $0 \not\in U_1$ , $f_1$ es sólo un polinomio en $t^{-1}$ sin ceros especificados (aunque podría tener algunos). La condición de compatibilidad es precisamente que $s|_{U_0 \cap U_1} = f_0(t) = f_1(t^{-1})$ en $U_0 \cap U_1$ que sólo puede ocurrir si $f_0(t) = a + \frac{b}{t}$ para algunos $a,b \in \mathbb{C}$ . Por lo tanto, la sección $s$ viene dada por $a+ \frac{b}{t}$ .

Edición 2 : Describamos el morfismo $\mathcal{O}(-D) \to \mathcal{O}$ en cada pieza de la cubierta abierta $\mathbb{P}^1 = U_0 \cup U_1$ .

En $U_0$ las secciones de $\mathcal{O}(-D)$ son $\Gamma(U_0, \mathcal{O}(-D)) = t \cdot \mathbb{C}[t]$ es decir, consiste en aquellos polinomios $g(t) \in \mathbb{C}[t]$ con (al menos) un simple cero en $t=0$ . Si $f$ es $1$ o $t^{-1}$ entonces el mapa de multiplicación $\Gamma(U_0, \mathcal{O}(-D)) \to \Gamma(U_0, \mathcal{O}) = \mathbb{C}[t]$ dado por $g \mapsto gf$ es efectivamente un homomorfismo.

En $U_1$ las secciones de $\mathcal{O}(-D)$ son $\Gamma(U_1, \mathcal{O}(-D)) = \mathbb{C}[t^{-1}]$ porque el divisor $D$ no impone ninguna condición a $U_1$ desde $0 \not\in U_1$ . Por lo tanto, el mapa de multiplicación $\Gamma(U_1,\mathcal{O}(-D)) \to \Gamma(U_1,\mathcal{O}) = \mathbb{C}[t^{-1}]$ , dada de nuevo por $g \mapsto gf$ es un homomorfismo.