Si G es un grupo finito con un número par de elementos, entonces el producto binario de dos elementos distintos es identidad.

Question

Sea $G$ grupo finito, que tiene un número par de elementos. Demuestran que al menos dos elementos (distintos) de $g,h$ de grupo $G$ uno tiene $g*g = e$ y $h*h = e$.

Acaba de comenzar el aprendizaje de álgebra y no tengo ninguna idea cómo debo solucionarlo. Estoy agradecido por cada explicación.

Referencia: Fraleigh pág. 48 pregunta 4.29 en un primer curso en álgebra abstracta

Answer 1

Manera elemental:

$g$ Simplemente tome la identidad $e$. Para encontrar otro, asumir que cada elemento $h$ tiene una inversa $h^{-1}$ que no $h$ ($h \neq h^{-1}$). Sumar el % de elementos $\{h, h^{-1} \}$y $e$, obtener un número impar de elementos del grupo. Contradicción. Hay otro elemento $h$ que $h = h^{-1}$ y se realiza.

Alternativa: sólo referirse al teorema de Cauchy.

Answer 2

Sugerencia: Separar los elementos en el grupo en dos grupos: $A=\{x\in G\mid x^2=e\}$ y $B=\{x\in G\mid x^2\ne e\}$. Ahora, Mostrar eso si $y\in B$ y $y^{-1}\in B$ y $y^{-1}\ne y$. ¿Qué lo dice sobre la paridad del número de elementos en $B$? Y desde $|G|$ es par, ¿qué puede usted concluir acerca de la paridad del número de elementos en $A$? Ahora tienes tu respuesta.

Answer 3

Considerar a la relación en $G$ de $g\equiv h\iff g\in\{\ h\ , h^{-1}\ \}$. Es fácil ver que esta es simétrica, reflexiva y transitiva, y por lo tanto una relación de equivalencia con la equivalencia de clases $\{\ h\ ,\ h^{-1}\ \}$. Es de la clase de equivalencia de la identidad $e$ $G$ $\{\ e\ \}$ que contiene sólo un elemento, y todas las clases de equivalencia tienen a más de dos elementos. Puesto que el orden de $G$ es par, al menos una clase de equivalencia además de $\{\ e\ \}$ debe tener solamente un elemento, y ese elemento es su propio inverso.

Answer 4

Como una forma alternativa de ver las cosas:
Definir una acción de $G$ sobre sí mismo mediante el envío de un elemento a su inverso. A partir de la clase de ecuaciones llegamos a la conclusión de que $|G|=|K|+\Sigma_i|O_i|$ donde $K$ es el conjunto de puntos fijos, y $O_i$ son órbitas. Ahora cada una de las $l_i:=|O_i|$ no puede ser, y es, de hecho,$=2$. Por lo tanto, $2$ divide $|K|$, mientras que $e\in K$, y por lo tanto el resultado de la siguiente manera.
Por supuesto, esto es bastante desordenado, y la acción aquí es sólo otra manera de decir "emparejamiento". Creo que esto podría hacer que la respuesta se ven mejor sin embargo.

Answer 5

Prueba 1 basado en http://answers.yahoo.com/question/index?qid=20080225171055AAJirM5.

En cualquier grupo finito, si un elemento (supongamos $g$) no es la misma que la de su inversa, a continuación, el elemento puede ser emparejado con su inversa ($g$ puede ser emparejado con $g^{-1}$) para formar un par. Por lo tanto el número total de elementos que $\neq$ sus inversos es aún.

Por lo tanto $|group|$ = número de elementos que no igualan sus inversos $+$ $\color{purple}{\text{number of elements that equal their inverse}}$
$\implies$ a = (en el párrafo anterior) + $\color{purple}{\text{Number of elements that equal their inverse}}$ $\implies$ $\color{purple}{\text{Number of elements that equal their inverse}} =$ incluso.

Puede este número par de elementos que la igualdad de su inversa se $0$? NO, porque la identidad es un elemento. Así que debe haber al menos dos de estos elementos, la identidad y uno más. QED.

Prueba 2 se basa en http://answers.yahoo.com/question/index?qid=20071120213339AAinCRX y http://answers.yahoo.com/question/index?qid=20071125194802AA5xsJa.

Primer vistazo a $e$. Porque $e*e = e$, $e$ es un elemento que siempre es igual a su inverso. Pero queremos encontrar un elemento que NO es igual a su inversa. Así que olvídate de $e$.

Por lo tanto vistazo a $G - {e}$. Pregunta presupone $|G|$ es incluso. Esta $\iff G - {e}$ tiene un número impar de elementos. Tomar cualquier elemento $a \in G - {e}$. Par $a$ con su inversa.

Posibilidad 1. Si $a^{-1}$ pasa a ser ${a},$$a^{-1}=a$. Hemos terminado.

Posibilidad 2. Si no, luego se multiplica $a$ por su inversa, que NO es $a$ en esta posibilidad, y eliminar el par.

Ahora tenemos $G - \{e\} - \{a, a^{-1}\}$, lo que es todavía un número impar de elementos de la izquierda. Ir a través de o repetición de las posibilidades 1 y 2 con este conjunto.

$G$ se presupone como un grupo finito. Por lo tanto después de un número finito de pasos de considerar el 2 por encima de las posibilidades, el peor de los casos es tener sólo un elemento a la izquierda. Recuerde, nos olvidamos de $e$ así que esto no es $e$. En el peor de los casos, sólo podemos par $a$ con sí mismo como el inverso de a $a$. En otras palabras, para $a \neq e$, nos quedamos con $a = a^{-1}.$, Pero esto es sólo $\iff a*a = e$. QED.

También mira en http://answers.yahoo.com/question/index?qid=20070725075050AAtHrZg, http://answers.yahoo.com/question/index?qid=20101206093620AAMVZU2, http://answers.yahoo.com/question/index?qid=20110901095234AAla6t0