Mostrar que $\int_{\sqrt{k\pi}}^{\sqrt{(k+1)\pi}} \sin (x^2) \, dx = \frac{(-1)^k}{\xi_k}$ % apto $\xi_k$

Question

Que $k \in \mathbb{N}$. Mostrar que existe $\sqrt{k\pi} < \xi_k < \sqrt{(k+1)\pi}$ tal que:

$$\int_{\sqrt{k\pi}}^{\sqrt{(k+1)\pi}} \sin(x^2) \, dx = \frac{(-1)^k}{\xi_k}$$

No hemos introducido integrales de Fresnel, que podría ser útil aquí... Supongo que no puedo utilizar, sin embargo.

Answer 1

Tenga en cuenta que la integral es positiva incluso $k$, justificando el $k$ y negativos impares $(-1)^k$.

Por lo tanto basta para demostrar que %#% $ #%

Hacer un cambio de variables $$\frac{1}{\sqrt{(k+1)\pi}}<\left|\int_{\sqrt{k\pi}}^{\sqrt{(k+1)\pi}} \sin{(x^2)} \, dx \right|<\frac{1}{\sqrt{k\pi}}$, $y=x^2$ $

$$\int_{\sqrt{k\pi}}^{\sqrt{(k+1)\pi}} \sin{(x^2)} \, dx =\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{\sin{y}}{2 \sqrt{y}} \, dy$$