Motivación para el desarrollo del doble dual de un espacio vectorial

Question

Recientemente estaba leyendo sobre el doble dual de un espacio vectorial $V$. Me preguntaba qué aplicaciones (dentro de las matemáticas) hay para este concepto y/o cuál fue la motivación para el desarrollo de esta teoría.

Answer 1

El doble dual proviene de aplicar el dual dos veces, entonces primero veamos por qué nos importa el espacio dual. El dual $V^*$ de un espacio vectorial de dimensión finita $V$ es el espacio de funcionales lineales $\varphi :V\to \mathbb R$ (para simplificar, estoy asumiendo campos vectoriales reales). Entonces, ¿qué hace un funcional lineal? Mapea cada vector en $V$ en algún número real, y lo hace de manera lineal. En física a menudo medimos cosas con números reales. Si pensamos en $V$ como nuestro espacio de estados, entonces un funcional lineal en él corresponde a una medición y así $V^*$ es el espacio de todas las mediciones. Sin duda, un buen objeto para considerar.

Ahora, siempre que se tiene una buena construcción, es una buena idea aplicarla nuevamente (y otra vez y otra vez). Esta es una regla general que básicamente se motiva por "si obtienes algo bueno al hacer algo, ¡hazlo de nuevo!".

Entonces, observamos el doble dual $V^{**}$. Como este es el espacio de mediciones sobre todas las mediciones en $V$, esto suena formidable. Pero resulta que no es complicado en absoluto y básicamente es solo $V$ nuevamente. Entonces, aquí hay una bonita consecuencia: hay una dualidad entre estados en nuestro espacio de estados $V$ y mediciones sobre todas las mediciones de estados. Esto es útil ya que (advertencia: no soy un experto en lo que estoy diciendo en este momento) podría ser posible deducir algún conocimiento del espacio de mediciones mientras que el espacio de estados es en su mayoría desconocido. La dualidad entonces dice que si podemos hacer una buena suposición sobre cuál es el espacio de mediciones (o las propiedades que tiene), entonces al tomar el dual en realidad encontramos información sobre el espacio de estados. Esto es un poco como el fenómeno de que a veces es más fácil derivar información sobre la derivada de una función que sobre la función en sí misma, dando lugar a una ecuación diferencial que luego puede resolverse.