Homeomorfismo expansivo en$\mathbb{R}^{2}$

Question

Homeomorphism$f:(X, d)\to (X, d)$ se llama$c$ - expansive siempre que para$x\neq y$ en$X$, hay$n\in \mathbb{Z}$ tal que$d(f^{n}(x), f^{n}(y))>c$.

Deje $A = \ left (\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \\ \end {array} \ right)$ and $f: \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R} ^ {2}$ be defined by $f (x) = Ax$. Consider the stereographic projection $ P: S ^ {2} - \ {(0, 0, 1) \} \ a \ mathbb {R} ^ {2}$defined by$ P (x, y, z) = \ frac {(x, y)} {1-z} $.

¿Es cierto que$f$ es expansivo cuando$\mathbb{R}^{2}$ tiene la métrica inducida por$P$?

Sé que$f$ no es expansivo, pero su prueba no está clara para mí.

Answer 1

Deje $(S^2,d)$ ser un espacio métrico con $d$ la métrica Euclidiana heredado de $\mathbb{R}^3$. El uso de la proyección estereográfica $P: S^2-\{(0,0,1)\}\to \mathbb{R}^2$ se define la métrica en la $\mathbb{R}^2$ por $d'(P(x_1,y_1,z_1), P(x_2, y_2, z_2))=d((x_1,y_1,z_1),(x_2, y_2, z_2))$. Tenga en cuenta que $P^{-1}: \mathbb{R}^2\to S^2-\{(0,0,1)\}$ está dado por $$(X,Y)\mapsto \left(\frac{2X}{X^2+Y^2+1}, \frac{2Y}{X^2+Y^2+1}, \frac{X^2+Y^2-1}{X^2+Y^2+1}\right)$$

Consideremos ahora una función lineal $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ determinada por una matriz de $M=\mathrm{diag}(e^\lambda, e^{\lambda'})$ algunos $\lambda,\lambda'\neq 0$. Considerar los puntos $A_0=(e^\mu, 0), B_0=(e^{\nu}, 0)$, también por simplicidad vamos a $A_n=f^n(A_0)$$B_n=f^n(B_0)$. Entonces (por un poco de cálculo) $$P^{-1}(A_n)=\left(\frac{1}{\cosh (n\lambda+\mu)}, 0, \tanh (n\lambda+\mu)\right) \quad P^{-1}(B_n)=\left(\frac{1}{\cosh (n\lambda+\nu)},0, \tanh (n\lambda+\nu)\right)$$

A continuación, con un poco de cálculo $$d'(A_n, B_n)=\sqrt{\frac{2[\cosh(\mu-\nu)-1]}{\cosh(n\lambda+\mu)\cosh(n\lambda+\nu)}}\leq \sqrt{2[\cosh(\mu-\nu)-1]}$$ Por lo $f$ no puede posiblemente ser $\epsilon$-expansiva para cualquier $\epsilon>0$. Porque por chooisng $\nu=0$ $\mu$ tal que $\cosh \mu < 1+\epsilon^2/2$ puntos $A_0=(e^\mu,0)$ $B_0=(1,0)$ son tales que para todos los $n\in \mathbb{Z}$ ha $d'(A_n, B_n)< \epsilon$. Si usted toma una mirada más cercana en el argumento anterior, si $M$ es cualquier invertible diagonal de la matriz, a continuación, $f$ no $\epsilon$-expansiva para cualquier $\epsilon>0$. De hecho, más en general, si (la matriz invertible) $M$ tiene vectores propios ($\mathbb{R}$ que es), a continuación, $f$ no es expansivo [Si $v$ es que el autovector tome $A_0=e^\mu v$$B_0=v$.]