¿Se establece el conjunto de los números reales la mayor posible totalmente ordenado?

Question

Porque encuentro que alguna totalmente ordenado conjunto puede ser "alineado" en línea recta, supongo que el conjunto de todos los números verdaderos es el más grande conjunto totalmente ordenado posible. En el sentido que cualquier otro conjunto totalmente ordenado es isomorfo (orden-que preserva) a un subconjunto de los números reales. ¿Es eso correcto?

Answer 1

Primaria Construcción

Sin entrar demasiado en la teoría de conjuntos, es posible producir una muestra explícita de un conjunto totalmente ordenado que no puede ser embebido en $ (\mathbb{R},\leq_{\mathbb{R}}) $ en una orden de preservación de la forma.

Definir un orden total $ \preceq $ $ \mathbb{R}^{2} $ como sigue: $$ \forall a,b,c,d \in \mathbb{R}: \quad (a,b) \prec (c,d) ~ \stackrel{\text{def}}{\iff} ~ (<_{\mathbb{R}} c) ~~ \text{o} ~~ (a = c ~~ \text{y} ~~ b <_{\mathbb{R}} d). $$ Observar que $ \{ \{ r \} \times \mathbb{R} ~|~ r \in \mathbb{R} \} $ es una innumerable colección de pares disjuntos no degenerada $ \preceq $-intervalos de $ \mathbb{R}^{2} $. Por lo tanto, $ (\mathbb{R}^{2},\preceq) $ no puede ser embebido en $ (\mathbb{R},\leq_{\mathbb{R}}) $ en una orden de preservación de la manera; si este no fuera el caso, entonces la $ \mathbb{R} $ podría contener una cantidad no numerable de pares disjuntos no degenerada intervalos, por lo que al escoger un número racional de cada uno de estos intervalos, acabaríamos con una cantidad no numerable de números racionales ⎯ contradicción.

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Modelo De La Teoría De La Construcción

Hay una buena manera de probar la existencia de totalmente de conjuntos ordenados con arbitrariamente grande de cardinalidad. Se basa en el Teorema de Compacidad en la lógica y el modelo de la teoría. Deje $ \kappa $ ser un cardenal y $ \mathcal{L} $ el primer fin de lenguaje que consiste en

• un conjunto $ \mathcal{C} $ $ \kappa $- muchos constante de símbolos y

• un único binario relación símbolo $ \leq $.

A continuación, defina $ T $ a ser el primer orden de $ \mathcal{L} $-teoría que consiste en:

1. Para los distintos $ c,d \in \mathcal{C} $, la sentencia de $ \neg(c = d) $.

2. El Axioma de la Reflexividad: $ (\forall x)(x \leq x) $.

3. El Axioma de Antisymmetry: $ (\forall x)(\forall y)(((x \leq y) \land (y \leq x)) \Longrightarrow (x = y)) $.

4. El Axioma de Transitividad: $ (\forall x)(\forall y)(\forall z)(((x \leq y) \land (y \leq z)) \Longrightarrow (x \leq z)) $.

5. El Total De Pedidos Axioma: $ (\forall x)(\forall y)((x \leq y) \lor (y \leq x)) $.

A pesar de $ T $ tiene un número infinito de oraciones (por (1)), es fácil ver que $ (\mathbb{N},\leq_{\mathbb{N}}) $ es un modelo de cualquier número finito de estas frases. Por lo tanto, por el Teorema de Compacidad, $ T $ tiene un modelo de $ (\mathcal{M},\leq^{\mathcal{M}}) $. Claramente, si elegimos $ \kappa > {\frak{c}} $, entonces no podemos incrustar $ (\mathcal{M},\leq^{\mathcal{M}}) $ a $ (\mathbb{R},\leq_{\mathbb{R}}) $ en una orden de preservación de la forma.

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Conjunto Teórico De La Construcción

El modelo de la teoría de la aproximación anterior sufre de un leve inconveniente, en el sentido de que el Teorema de Compacidad es equivalente a la Booleano Primer Ideal Teorema, que es una forma débil del Axioma de Elección. Si uno quiere trabajar en el marco estricto de la Zermelo-Fraenkel axiomas, entonces uno puede utilizar Hartogs' resultado que para cualquier conjunto a $ X $, es posible encontrar un ordinal $ \alpha $ que no se pueden asignar injectively en $ X $. En particular, existe un ordinal $ \alpha $ que no se pueden asignar injectively en $ \mathbb{R} $, mucho menos incrustado en $ \mathbb{R} $ en una orden de preservación de la forma.

Answer 2

No, absolutamente no. Asumiendo el axioma de elección, sea $\kappa$ cualquier cardinal mayor que $2^\omega=|\Bbb R|$; entonces $\kappa$ en su orden natural es un orden lineal de mayor cardinalidad que $\Bbb R$. Si el axioma de la opción falla de tal manera que el $\Bbb R$ no puede ser bien ordenado, hay todavía un ordenado conjunto que no puede ser embebido en $\Bbb R$, el ordinal de Hartogs $\Bbb R$.

Answer 3

La línea real es la mayor orden separables linealmente conjunto ordenado. Es decir, si $(L,\preceq)$ es un linealmente conjunto ordenado de tal manera que un contable, establezca $C\subseteq L$ existe la satisfacción de que para todos los $x,y\in L$ $x\prec y$ hay$c\in C$$x\preceq c\preceq y$, entonces existe una función de $f:L\to\mathbb{R}$ tal que $f(x)<f(y)$ fib $x<y$ todos los $x$$y$$L$. La existencia de un conjunto de $C$ también es necesario. Una prueba de estos hechos se da aquí.

Aquí es otro contraejemplo sin fin de divisibilidad: Vamos a $(W,\preceq)$ ser un incontable bien-conjunto ordenado. Deje $W'$ $W$ sin el máximo de $W$ si es un máximo existe. Para cada una de las $w\in W'$, vamos a $S(w)$ ser su inmediata sucessor dado por $S(w)=\min\{w'\in W:w'\succ w\}$. Es fácil ver que $x\prec y$ implica $x\prec S(x)\preceq y\prec S(y)$. Así que si una estrictamente creciente en función $f:W\to\mathbb{R}$ existiría, la innumerable familia de intervalos de $\{(w,S(w)):w\in W'\}$ sería distinto, que no puede ser por la misma razón señalada por Haskel Curry en su respuesta.

Answer 4

Algunos linealmente ordenado conjuntos es no isomorfo a cualquier subconjunto de los reales incluso pensaba no hay más de ellos que son reales. El conjunto de los números ordinales contables es un ejemplo.

Answer 5

No, de hecho es un resultado famoso que cualquier sistema puede ser totalmente ordenado, esto se conoce como el teorema de Well-Ordering y es equivalente al axioma de elección.

Para obtener más información, vea aquí.