Valor esperado de$Ye^X$ donde$X \sim U(0,1)$ y$Y \sim U(0,1)$

Question

Estoy tratando de encontrar el valor esperado de$Z$ donde$Z = Y\cdot e^X$ donde$Y \sim U(0,1)$ y$X \sim U(0,1)$.

Mi intento hasta ahora:

ps

Dónde $$F_Z(z) = P(Ye^X \le z) = \int \int_{Ye^X \le z} f(x,y)\, dxdy$

ps

Estoy atrapado tratando de encontrar$f_{X,Y}(x,y) = f_y\cdot f_{e^x}$, pero no recuerdo cómo encontrar ese pdf.

Answer 1

Si el problema no se indica explícitamente que el $X$ $Y$ son independientes, entonces no tiene una solución, debido a que las distribuciones marginales de $X$ $Y$ no determinan su distribución conjunta.

Suponiendo que $X$ $Y$ son independientes, entonces la $e^X$ $Y$ son también independientes. Prueba:

$$ \begin{eqnarray} P\left\{e^X \in A, Y\in B \right\} &=& P\left\{X \in \exp^{-1}(A), Y\in B \right\} \\ &=& P\left\{X \in \exp^{-1}(A)\right\}P\left\{Y\in B \right\} \quad \textrm{[independence of %#%#% and %#%#%]} \\ &=& P\left\{e^X \in A\right\}P\left\{Y\in B \right\} \, , \end{eqnarray} $$ en que $X$ $Y$ son conjuntos de Borel, y $A$ es la inversa de la imagen del conjunto $B$ bajo $\exp^{-1}(A)$. Tenga en cuenta que $A$ también es un conjunto de Borel porque $\exp$ es medible.

Pero la expectativa de un producto de variables aleatorias independientes es el producto de sus expectativas. Por lo tanto, $$ \mathrm{E}\left[Ye^X\right]=\mathrm{E}[Y]\cdot\mathrm{E}\left[e^X\right] \, . $$ Para calcular los $\exp^{-1}(A)$ no es necesario determinar la distribución de los $\exp:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. De ello se deduce a partir de un teorema, conocido folkloricaly como la Ley de la Inconsciente Estadístico, que $$ \mathrm{E}\left[e^X\right] = \int_{-\infty}^\infty e^x f_X(x)dx \, , $$ y esta integral es fácil de calcular.

Answer 2

Definitivamente hay un acercamiento más fácil a este problema (consejos fueron dados en los comentarios), pero ya que usted me preguntó sobre un determinado paso, me voy a ir de allí.

Desea calcular el pdf $f_{e^X}(x)$. Vamos a empezar con:

$$ F_{e^X}(x) = P(e^X < x) = P(X < \log x) = (F_X \circ \log)(x) $$

Recordemos que podemos calcular $f_{e^X}$, diferenciando $F_{e^X}$. En este caso, puede utilizar la regla de la cadena.

Este tipo de transformación se generaliza al caso multivariante.