Me han pedido que haga una breve presentación del teorema de Wedderburn de que cada dominio finito es un campo.
Sin embargo, la prueba en sí es bastante corta, así que pensé en agregar algunas aplicaciones (ya que este teorema no se presta a dar muchos ejemplos más allá de "aquí hay un dominio finito, ¡es un campo!"). ¿Cuáles son algunas aplicaciones interesantes de este teorema?
Advertencia: En esta respuesta, voy a comentar acerca de las cosas un montón de MSE usuarios saben mucho mejor que yo. espero que les voy a corregir y/o completar esta respuesta.
En André Weil libro Básico de la Teoría de números.
Wedderburn Poco Teorema se utiliza en una forma esencial para calcular el grupo de Brauer de un campo local.
El uso de WLT es a la vez visible y el oculto.
Es notorio porque WLT es el Teorema 1 del Capítulo 1, y se muestran en la parte superior de la página 1.
Está oculto porque WLT nunca (por lo que puedo ver) se refiere explícitamente en la secuela.
Pero si uno mira de cerca, se ve que es implícitamente usado un montón de veces.
La primera vez es en el Corolario 1 Teorema 2 de la página 2.
[En este post, de la división de los anillos serán llamados "campos", que es "no necesariamente conmutativo campos", pegarse a Weil terminología.]
WLT es tácitamente utilizados a la conclusión de que el residuo de un campo (no necesariamente conmutativo) no archimedian campo local es finita conmutativa de campo.
Esto permite Weil para describir de una manera muy precisa la estructura de un (no necesariamente conmutativo) no archimedian campo local, considerada como una división de álgebra a través de su centro: véase la Proposición 5 de la página 20.
Esta Proposición es el punto culminante del Capítulo 1, y entonces se usa de una manera crucial en:
el comentario siguiente Definición 6 de la página 184,
la prueba del Teorema 1 la página 222,
la prueba del Corolario 1 de la página 223.
Un tipo particularmente importante de extracto es el párrafo que justo antes de que el Teorema 2 de la página 224. Aquí está una parte de este párrafo:
Como podemos identificar el grupo de Brauer $B(K)$ con el grupo $H(K)$ considera que en el teorema 1 y sus corolarios, podemos considerar que la asignación de $\eta$ definido en el corolario 2 de th. 1 como un isomorfismo de $B(K)$ en el grupo de raíces de $1$$\mathbb C$; ...
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