Subgrupos normales: Demostrar que G es un grupo abeliano

Question

Deje$G$ ser un grupo y deje$D=\{(g, g):g\in G\}$. Si$D$ es un subgrupo normal de$G\times G$, compruebe que$G$ es un grupo abeliano.

Mi intento:

$D$ es un subgrupo normal de$G\times G$.

$\implies(a, b)D=D(a, b)\ \forall(a, b)\in G\times G$

Entonces, para un$(a, b)\in G$% y$(g, g)\in D$,$\exists(g', g')\in D$ tal que

$(a, b)(g, g)=(g', g')(a, b)$

$(ag, bg)=(g'a, g'b)$

$ag=g'a$ y$bg=g'b$

Siento que utilicé toda la información dada pero no sé cómo concluir que$G$ es abelian. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

¡Creo que lo tengo!

Dejar $g=a$.

Entonces, $aa=g'a\implies g'=a$

Asi que, $bg=g'b\implies ba=ab$

Entonces,$G$ es abelian.

Answer 2

Creo que has resuelto tu propia pregunta correctamente. Prestigio. Aquí hay un enfoque ligeramente diferente, tal vez más directo:

ps

ps

y esto significa$$D\lhd G\times G\iff\forall\,g\in G\;,\;\;(a,b)(g,g)(a,b)^{-1}\in D\iff$ para todos$$(aga^{-1}\,,\,bgb^{-1})\in D$. Toma ahora$\;aga^{-1}=bgb^{-1}\;$, y lo anterior dice que para todo$\;a,b,g\in\Bbb G\;$ tenemos

ps