Base ortonormal en el espacio de Hilbert

Question

Estoy leyendo un libro sobre análisis funcional y hay una cosa que realmente no entiendo. Permita que$\mathcal{H}$ sea un espacio de Hilbert. Y$U \subset \mathcal{H}$ un subespacio cerrado. ¿Es posible elegir una base ortonormal$\{e_{i}\}_{i=1}^{\infty}$ para que exista una subsecuencia del$e_{i}$ que abarque$U$?

Answer 1

Como abatkai señala, esto es cierto cuando se $\mathcal{H}$ es separable.

Más general de la realidad: si $A \subset \mathcal{H}$ es cualquier ortonormales conjunto, existe una base ortonormales $B$ que contiene $A$. La prueba es que a lo largo de las mismas líneas que la prueba de que una ortonormales base existe: considerar la colección de todos los conjuntos ortonormales que contengan $A$, y utilizar el lema de Zorn para encontrar uno que es maximal con respecto a la inclusión.

Esto implica el resultado deseado, mediante la adopción de $A$ es una base ortonormales de $U$. Al $\mathcal{H}$ es separable, $B$ (y por lo tanto también es $A$) será contables, y así que usted puede escribir $B$ como una secuencia $A$ como larga.

Answer 2

Suponiendo que su $\mathcal{H}$ es separable, la respuesta es sí. A continuación, cada subespacio cerrado es un espacio de Hilbert separable sí, es decir, que tanto $U$ $U^{\bot}$ tienen base ortonormales $\{f_i\}$$\{g_i\}$. Sólo tienes que peinar las dos secuencias juntos, entonces el extraño larga le dará la base de su subespacio.

Agregó luego de las palabras: Los argumentos anteriores, si tanto $U$ $U^{\bot}$ son infinitas dimensiones. Claramente, si $U$ es finito dimensional, entonces la respuesta es no (pero se obtiene una secuencia finita de un ONB}, y si $U^{\bot}$ es finito dimensional, entonces usted puede elegir su larga con una caída de la un número finito de elementos.