¿El conjunto de puntos o el conjunto de líneas en un plano es "más grande"?

Question

¿El conjunto de puntos o el conjunto de líneas en un plano es "más grande", o hay una correspondencia 1-1 entre líneas y puntos?

Answer 1

Supongo que la pregunta por Marios fue sobre el avión real, pero los aviones sobre campos finitos también podría dar lugar a interesantes declaraciones. En primer lugar, vamos a tomar un ejemplo. Deje $P$ ser afín avión sobre los dos elementos de campo $\mathbb{F}_2$. Hay 4 puntos en este plano, pero hay 6 líneas (es decir, una dimensión afín espacios) en este plano.

La prueba de $\mathbb{R}$

Tenemos un uno-a-uno la asignación de $\mathbb{R}^2 \setminus\{(0,0)\}$ $\mathcal{L}$(no he podido encontrar más simple) : tomar cualquier elemento $(a,b)$ y el formulario de la línea de $d_{a,b}$ que es tangente al círculo de centro $0$ y radio de $\sqrt{a^2 + b^2}$ en el punto de $(a,b)$. Este es inyectiva. No es surjective, como las líneas que van a través de $(0,0)$ (vamos a denotar por $\mathbb{P}_1(\mathbb{R})$ ) no tienen la forma $d_{a,b}$.

Por lo tanto, el conjunto de $\mathcal{L}$ tienen la misma cardinalidad como $\mathbb{P}_1(\mathbb{R}) \cup \mathbb{R}^2 \setminus\{(0,0)\}$. Pero es sabido que hay un bijection $\phi$$\mathbb{P}_1(\mathbb{R})$$\mathbb{R} \cup \infty$ : si $d \in \mathbb{P}_1(\mathbb{R})$ , vamos a $\phi(d)$ $x$ donde $(x,1)$ es la intersección entre el $d$ y la línea horizontal $y=1$. Si $d$ es la línea de $y=0$,$\phi(d) = \infty$. Este es un bijection (es claro en un dibujo).

Para concluir, tenemos un bijection de $\mathcal{L}$ a $\mathbb{R}^3$. Se puede demostrar que hay un bijection de $\mathbb{R}^3$$\mathbb{R}$.

El caso general

En el caso general, se puede esperar que el número de líneas a ser "mayor" que el avión.

En primer lugar, tenga en cuenta que hay un bijection del espacio proyectivo $\mathbb{P}_1(\Bbbk)$ a $\Bbbk \cup \infty$ donde $\infty$ es otro punto añadido a $\Bbbk$. Cuando el campo $\Bbbk$ es finito, esto significa que no es exactamente como mucho unidimensional espacios vectoriales de elementos en $\Bbbk$, más uno. Al $\Bbbk$ $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ tienen la misma cardinalidad.

Ahora nota: $\mathcal{L}_A$ el conjunto de las líneas que van a través de algún punto de $x$ pertenecen al conjunto $A$. Por ejemplo, $\mathcal{L}_x$ es el conjunto de líneas que van a través de $x$ $\mathcal{L}_P$ es el conjunto de todas las líneas.

Tenga en cuenta que $\mathcal{L}_x$ tiene la misma cardinalidad como $\mathbb{P}_1(\Bbbk)$. Por otra parte, si $x \neq y$, $\mathcal{L}_x \cap \mathcal{L}_y$ es un singleton (sólo hay una línea que va a través de $x$ $y$ al $x \neq y$).

Con esto, se demuestra que el conjunto de líneas de $\mathcal{L}$ es estrictamente mayor que $P$, lo ser $\Bbbk$. De hecho, tomar dos puntos de $x,y$$P$, tenemos un bijection de $\mathcal{L}_{\{x,y\}}$ a $(\Bbbk)^2$ (hemos eliminado un elemento contado dos veces).

Answer 2

Vamos a empezar a construir una forma de describir el conjunto de todas las rectas en el plano. Hay dos tipos de líneas: vertical líneas y no verticales líneas.

• Cualquier línea vertical puede ser representada por una ecuación de la forma $x=c$, para algunos la única constante $c \in \mathbb R$. Así que si llamamos a $S$ el conjunto de todas las líneas verticales, hay una clara correspondencia uno a uno entre el$S$$\mathbb R$.
• Cualquier no-línea vertical puede ser representada por una ecuación de la forma $y=mx+b$ donde $y,b$ son únicas constantes en $\mathbb R$. Así que si llamamos a $T$ el conjunto de todas las líneas verticales, hay una clara correspondencia uno a uno entre el$T$$\mathbb R \times \mathbb R$.

El conjunto de todas las líneas en el plano es $S \cup T$, y el conjunto de todos los puntos en el plano es, naturalmente, identificado con $\mathbb R \times \mathbb R$. Ahora, ¿qué sabe usted acerca de una unión de dos conjuntos infinitos? ¿Qué sabe usted sobre el producto Cartesiano de dos conjuntos infinitos? Con que la información que usted debería ser capaz de poner las piezas juntas y responder a la pregunta.

Answer 3

Esta pregunta tiene varias respuesta. Estrictamente hablando, no existe un bijection pero de alguna manera es muy complicado y no muy útil. No es continuo, lo que significa que dos puntos que están cerca el uno del otro, puede corresponder a las líneas que están muy lejos. De hecho, ambos conjuntos de rectas en el plano y los puntos en el plano, se encuentran también en bijection con... puntos en una línea ! Incluso si estos conjuntos se sienten muy diferentes unos de otros.

La segunda respuesta es que hay más rectas en el plano que hay puntos. Pero en ese caso, la correspondencia es muy fácil escribir :

Por ejemplo, usted puede tomar la siguiente : $(a,b)\mapsto L_{a,b}$ donde $L_{a,b}$ es la línea cuya ecuación es $y=ax+b$. Obviamente es inyectiva, pero no, porque la vertical de mapas no están en la imagen. Por lo tanto, podemos decir que hay más líneas de puntos.