¿El mapa continuo cubre el espacio para sí mismo, el homeomorfismo supone que tanto la cobertura como la base están conectadas a la ruta y$pf=p$?

Question

En mi topología de asignación me encontré con el siguiente problema:

Verdadero o falso? Deje $E$ $X$ trayectoria-conectado. Para cada cubriendo mapa de $p:E\rightarrow X$ y un mapa continuo $f:E\rightarrow E$ tal que $pf=p$ tiene $f$ es homeomorphism.

Yo no podía pensar en ninguna contraejemplo, así que mi conjetura es que la afirmación es verdadera. Desde $X$ no es localmente trayectoria-conectado, yo no se puede aplicar el teorema de levantamiento de obtener $f$ y su inversa, por lo que supongo que debería manualmente demostrar propiedades de homeomorphism en $f$, con la ruta de acceso de elevación teorema varias veces.

Recientemente he tenido que lidiar funcionamiento de un grupo fundamental de la operación en un conjunto de $p^{-1}(x)$ $x\in X$ tal que $p^{-1}(x)\times \pi_1(X,x)\rightarrow \pi_1(X, x): [w]\cdot e=w(1)$, es decir, a cada punto en $E$ se asigna a la estación de un único ascensor de la ruta de $w$ (similar a la de Hatcher). He jugado un poco tratando de demostrar que la inyección / surjection propiedad de $f$, pero no se consiguió. La única cosa que he demostrado es que el $f([w]\cdot e) = [w]\cdot f(e)$ pero nada más.

Así que me pregunto lo que sería un enfoque adecuado para resolver esta cuestión.

Gracias de antemano!

Answer 1

Sugerencia 1: he Aquí una sugerencia para mostrar que $f$ es un local homeomorphism: La condición de $pf=p$ implica que los puntos en $e$ son llevados a los puntos de la fibra $p^{-1}(p(e))$. Podemos encontrar barrios $U$ $e$ $W$ $f(e)$ tal que $p$ restringe a un homeomorphism en cada barrio y $f(U) \subset W$. Vea si usted puede usar esto para mostrar que $f$, de hecho, lleva $U$ homeomorphically en un subconjunto de a $W$.

Sugerencia 2: [Cortesía de la OP propia sugerencia en los comentarios de abajo.] Por tanto inyectividad y surjectivity: la acción de La $\pi_1(X,x_0)$ $p^{-1}(x_0)$ puede ser demostrado para satisfacer $f(e) \cdot [\gamma]=f(e \cdot [\gamma])$. Jugando con este hecho y un par de bien elegido rutas entre puntos en $p^{-1}(x_0)$ le dará la oportunidad de inyectividad y surjectivity.