¿Podemos convertir los números reales en un módulo$\mathbb{C}$ - con unidad?
Deberíamos tomar los números reales como un grupo y los números complejos como nuestro anillo. Por favor dime, ¿cuál es la operación?
Respuesta
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Hurkyl
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Como un grupo abelian, $\mathbb{R}$ es divisible únicamente (es decir, para cada una de las $x$ y un valor distinto de cero entero $n$, no hay una única $y$, de modo que $x = n \cdot y$), por lo $\mathbb{R}$ es isomorfo a un espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$. (hay un más evidente prueba de que $\mathbb{R}$ es un racional espacio vectorial-el punto es que "únicamente divisible abelian grupo" significa lo mismo que "racional espacio vectorial", así que voy a hablar de la última vez)
De hecho, (estoy seguramente asumiendo el axioma de elección), $\mathbb{R}$ $\mathfrak{c}$- dimensiones racional espacio vectorial, donde $\mathfrak{c}$ es la cardinalidad de a $\mathbb{R}$.
$\mathbb{C}$ $\mathfrak{c}$- dimensiones racional espacio vectorial. Por lo tanto, $\mathbb{C} \cong \mathbb{R}$ como racional de los espacios vectoriales, y por lo tanto como abelian grupos.
Por lo tanto, tu pregunta es equivalente a la siguiente:
Podemos hacer que los números complejos en un $\mathbb{C}$-módulo con la unidad?
Debemos tomar los números complejos como un grupo y el de los números complejos como nuestro anillo. Por favor, dime ¿cuál es la operación?
