$\lim \frac{\cos{x}}{x^2}$ mientras x va al infinito

Question

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\cos{x}}{x^2} =\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{dx} \cos{x}}{\frac{d}{dx}x^2} = -\frac{1}{2}\lim_{x \to \infty}\frac{\sin{x}}{x}$. Pero entonces $-\frac{1}{x} \le \frac{\sin{x}}{x} \le \frac{1}{x}$

Por lo tanto $\displaystyle -\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x} \le \lim_{x \to \infty}\frac{\sin{x}}{x} \le \lim_{x \to \infty}\frac{1}{x} \iff 0 \le \lim_{x \to \infty}\frac{\sin{x}}{x} \le 0 \iff \lim_{x \to \infty}\frac{\sin{x}}{x} = 0.$

¿Es correcto lo anterior?

Answer 1

¡No puede aplicar la regla de L'Hospital en este caso! L'Hospital solo se aplica a las expresiones$\infty \over \infty$ o$0 \over 0$.

Pero puede llegar fácilmente al límite sabiendo que$\mid\cos x \mid \leq 1$, así$$\frac{\mid\cos x\mid}{x^2} \leq \frac{1}{x^2} \xrightarrow{\: n \to \infty \: } 0$ $

Answer 2

Llegaste a la respuesta correcta, pero tu primer paso es incorrecto.

Aquí hay otro método:

Tenga en cuenta que$\cos(x)$ está limitado y$$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{1}{x^2}=0$ $ Y listo.

Answer 3

$$ \ left | \ frac {\ cos x} {x ^ 2} \ right | \ le \ frac {1} {x ^ 2} \ a 0. $$

Answer 4

La regla de L'hospital no es correcta en este caso notada por @ addy2012.

Puede observar que puede concluir directamente, como$x \to \infty$, mediante el teorema de compresión: $$ \ left | \ frac {\ cos x} {x ^ 2} \ right | \ leq \ frac1 {x ^ 2} . $$

Answer 5

No necesita usar los derivados: por cada$x > 0$ tenemos $$ - \ frac {1} {x ^ 2} \ leq \ frac {\ cos (x)} {x ^ 2} \ leq \ frac {1} {x ^ 2}. $$ Porque$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = 0$ sigue que$\lim_{x \to \infty} \frac{\cos(x)}{x^2} = 0$.