¿Por qué son máximos ideales primos?

Question

Podría alguien explicarme por qué la máxima ideales son los principales?

Me estoy acercando como este, vamos a $R$ ser un anillo conmutativo con $1$ $A$ ser un ideal maximal. Deje $a,b\in R:ab\in A$

Estoy tratando de construir un ideal de a $B$ tal que $A\subset B \neq A$, Ya que esto sería una contradicción. Una idea alternativa que tenía era para demostrar que $R/A$ es una parte integral de dominio, pero esto se reduce a un mismo problema.

EDIT: Ergh.. acabo de darme cuenta de que he aprendido un teorema que los estados se $A$ es un ideal maximal, a continuación, $R/A$ es un campo

Answer 1

He aquí una prueba de que no implica el cociente $R/A$.

Supongamos que $A$ no es primo; luego, se $a,b\in R\setminus A$ tal que $ab\in A$. Deje $B$ ser el ideal generado por $A \cup \{a\}$; $B = \{x+ar: x\in A\text{ and }r\in R\}$. Claramente $A \subsetneq B$, por lo que $B = R$, $1_R \in B$, y, por tanto, $1_R = x + ar$ algunos $x\in A$$r\in R$. Entonces $$b = b1_R = b(x+ar) = bx + bar.$$ But $bx \en bA \subseteq RA = $, and $bar \Ar \subseteq AR = $, so $b \en$. This contradiction shows that $$ es primo.

Answer 2

$A$ es un ideal maximal $\Rightarrow$ $R/A$ es un campo de $\Rightarrow$ $R/A$ es una parte integral de dominio $\Rightarrow$ $A$ es el primer

Answer 3

Deje $A$ ser un ideal maximal. A continuación, $R/A$ no contiene adecuada ideales, por el teorema de la correspondencia. De hecho, $R/A$ es un campo (suponiendo que $R$ contiene una identidad).

Thm: R/a es un campo.

Prueba: Supongamos $i+A\in R/A$ tal que $i+A\neq 0+A$. Queremos demostrar que $i+A$ es una unidad. A continuación, establezca $B=A+Ra=\{a+ri: a\in A, r\in R\}$.

Ahora, usted (usted mismo!) necesita demostrar que $B$ es un ideal, y que $A\subset B$ correctamente. Así, desde la $A$ es máxima, esto significa que $B=R$.

Como $B=R$ tenemos que $1\in B$, lo $(1+ri)+A=ri+A=(r+A)(i+A)$, y por lo $i+A$ es una unidad, según sea necesario.

Answer 4

A continuación voy a mostrar que la prueba es un ideal de la teoría de la forma de una conocida prueba de $ $ Euclides del Lexema $ $ para los números enteros. Para resaltar la analogía doy cuatro pruebas: en primer lugar el común de la prueba para los números enteros utilizando la Identidad de Bezout para el mcd; en segundo lugar, una traducción en términos de gcds, a continuación, ideal traducciones.

Euclides del Lexema en Bezout forma, mcd forma y las formas ideales

$\smash[t]{\begin{align}\\ \\ Ax\!+\!ay=&\,\color{#c00}1,\,\ A\ \mid\ ab\ \ \ \Rightarrow\, A\ \mid\ b.\ \ \ {\bf Proof}\!:\,\ A\ \mid\ Ab,ab\, \Rightarrow\, A\,\mid Abx\!\!+\!aby\! =\, (\!\overbrace{Ax\!+\!ay}^{\large\color{#c00} 1}\!) b = b\\ (A,\ \ \ a)=&\,\color{#c00}1,\,\ A\ \mid\ ab\ \ \ \Rightarrow\, A\ \mid\ b.\ \ \ {\bf Proof}\!:\,\ A\ \mid\ Ab,ab\, \Rightarrow\, A\,\mid (Ab,\ \ ab) = (A,\ \ \ a)\ \ b =\, b\\ A\!+\!(a)=&\,\color{#c00}1,\,\ A\supseteq\! (ab)\, \Rightarrow\, A \supseteq\! (b).\: {\bf Proof}\!:\ A\, \supseteq Ab,ab \,\Rightarrow A\supseteq Ab\!+\!(ab)\! =(A\!+\!(a))b =\! (b)\\ A +{\cal A}\ =&\,\color{#c00}1,\,\ A\supseteq {\cal A B}\, \Rightarrow\, A \supseteq\, {\cal B}.\:\ {\bf Proof}\!:\ A\, \supseteq\! A{\cal B},\!{\cal AB}\!\Rightarrow A\supseteq A{\cal B}\!+\!\!{\cal AB} =(A+{\cal A}){\cal B} = {\cal B} \end{align}}$

La tercera forma ideal es precisamente la misma prueba como en la de Brian respuesta. La cuarta forma se muestra que la prueba funciona de manera más general para coprime (es decir, comaximal) los ideales de la $\ A,\, {\cal A},\ $ es decir $\ A+{\cal A}= 1. $ En la segunda prueba para los números enteros, podemos leer$\,(A,a)\,$, ya sea como un mcd o un ideal. Si se lee como un mcd, a continuación, la prueba utiliza la característica universal de la dpc y el mcd distributiva de la ley. En la primera prueba de la dpc aritmética es cambiada por la aritmética de enteros, por lo que el uso de la dpc distributiva de la ley se convierte entonces en el uso de la ley distributiva en el anillo de los números enteros.

Answer 5

Para un enfoque completamente diferente: Un ideal es primo si y sólo si es maximal con respecto a la exclusión de un vacío multiplicatively subconjunto cerrado. (Este teorema es muy útil en los conmutativa anillo de la teoría.) Por definición, la máxima ideal maximal con respecto a la exclusión de {1}.

Para la prueba de la no trivial de la dirección de ese teorema, vamos a $P$ ser un ideal maximal con respecto a la exclusión de un vacío multiplicatively cerrado subconjunto $S$. A continuación, $P$ es adecuado. Pick $a,b \notin P$. Desde $(P + (a))(P + (b)) \subseteq P + (ab)$ contiene un elemento de $S$, llegamos a la conclusión de que $ab \notin P$.