Deje $(x_n)$ ser una secuencia de invertible elementos de un álgebra de Banach $A$ con identidad $e$ convergentes a no es invertible elemento $x.$ Demostrar que $\lim \| x_n^{-1} \| = \infty .$
Mi intento: he intentado demostrar por contradicción. Si $\lim \| x_n^{-1} \| \neq \infty,$, entonces podemos asumir que no existe $C>0$ tal que $\|x_n^{-1}\|\leq C$ todos los $n \in \mathbb N.$
Entonces traté de obtener una contradicción con el hecho de que $x$ a no es invertible, mostrando a $\|e-x\|<1,$, pero que no podía mostrar esto.
Estoy en el camino correcto? Las sugerencias se agradece.
