Demuestre que existe el límite$\lim\limits_{n \to \infty}\int_0^1\frac{e^x \cos x}{nx^2+\frac{1}{n}}dx$

Question

Use la desigualdad AG, fácilmente podemos tener que$$\left|\frac{e^x \cos x}{nx^2+\frac{1}{n}}\right| \leq \frac{e^x}{2x}$ $ however,$\int_0^1 g(x)dx= \int_0^1\frac{e^x}{2x}dx$ diverge, por lo tanto no podemos aplicar el Teorema de Convergencia Dominado de Lebesgue. Tengo una idea que usa la función característica$\chi_{[\frac{1}{n},1]}f_n(x)$ para aproximar $f_n(x)$. Entonces$\left|\chi_{[\frac{1}{n},1]}f_n(x)\right| \leq \left|f_n(x)\right| \leq g(x)$ cuyas convergencias integrales en$[\frac{1}{n},1]$, entonces podemos aplicar el Teorema de LDC para encontrar el límite de$\int_0^1 f_n(x)=0$. \ ¿Es correcta esta idea o cómo escribirla rigurosamente?

Answer 1

Sugerencia Se puede observar que $$ \ left (\ arctan (nx) \ right) '= \ frac {1} {nx ^ 2 + \ frac1n} $$ y uno puede realizar una integración por partes antes de usar el DCT.

Answer 2

Al imponer la sustitución$x=\frac{z}{n}$,$dx=\frac{dz}{n}$ tenemos$$ \int_{0}^{1}\frac{e^x\cos x}{nx^2+\frac{1}{n}}\,dx = \int_{0}^{n}\frac{e^{z/n}\cos(z/n)}{z^2+1}\,dz=\int_{0}^{+\infty}\frac{f_n(z)}{z^2+1}\,dz -O\left(\frac{1}{n}\right)$ $ donde$f_n(z)$ se define como$e^{z/n}\cos(z/n)$ sobre$[0,n]$ y como$1$ encima $[n,+\infty)$.
Aquí podemos aplicar fácilmente el teorema de convergencia dominado, ya que$e^x\cos x$ es una función positiva y continua en$[0,1]$, lo que lleva a$0\leq f_n(x)\leq M$. Para cualquier$z\in\mathbb{R}^+$ tenemos$\lim_{n\to +\infty}f_n(z)=1$, por lo tanto, el límite deseado es igual a$\int_{0}^{+\infty}\frac{dz}{z^2+1}=\color{red}{\large\frac{\pi}{2}}$.