Muestran que

Question

ps

¿Cómo podemos mostrar que$$\int_{0}^{\pi}{\sin^5(x)\over 1+\cos^3(x)}\mathrm dx =\ln{3}\tag1$

$(1)=\ln{3}$ entonces $u=\sin^3{x}$

ps

Esta no es una buena sustitución

Answer 1

$$\int_0^\pi \frac{\sin^5 x}{1+\cos^3 x}dx$ $$$=\int_0^\pi \frac{-(1-\cos^2 x)^2}{1+\cos^3 x}\cdot -\sin x\space dx$ $ Ahora deja$u=\cos x$. Entonces tenemos$$=\int_1^{-1} \frac{-(1-u^2)^2}{1+u^3}\cdot du$ $$$=\int_{-1}^{1} \frac{(1-u^2)^2}{1+u^3}\cdot du$ $ ¿Puedes terminar esto?

Answer 2

INSINUACIÓN

Tenga en cuenta que:$$sin^5(x)=\sin^2 x \sin^2 x \sin x=(1-cos^2 x)^2 \sin x$ $

Esto sugiere establecer:$\cos x =u$

Answer 3

Pruebe: $$ u = \ cos (x) \\ du = - \ sin (x) dx $$ Luego$$\frac{sin^5(x)}{1+\cos^3(x)}dx = -\frac{(1-u^2)^2}{1+u^3}du$ $

Answer 4

Sin usar integración por sustitución o por partes:

Álgebra trigonométrica

Usamos la identidad que$(1-\cos x)(1+ \cos^3x)=(1-\cos^2x)(1-\cos x+\cos^2x)$ así que$$\frac{\sin^2x}{1+\cos^3x}=\frac{1-\cos x}{1-\cos x + \cos^2x} \implies \frac{\sin^5x}{1+\cos^3x}=\frac{\sin^3x(1-\cos x)}{1-\cos x + \cos^2x}$$ Now RHS is equivalent to $$\frac{\sin x(1-\cos^2x)(1-\cos x)}{1-\cos x + \cos^2x}=\frac{\sin x-\sin x \cos x+\sin x \cos^2x(\cos x-1)}{1-\cos x + \cos^2x}$$ or $$\frac{\sin x(1-2\cos x)+\sin x \cos x(1-\cos x + \cos^2x)}{1-\cos x + \cos^2x}=\frac{2\sin x(1-\cos^2x)}{2-2\cos x + 2\cos^2x}+\sin x \cos x$$ We do this so that we can replace the square term with $ \ cos 2x$. Continuing, we have $$\frac{2\sin x - 4 \sin x \cos x}{3-2\cos x + \cos 2x}+\frac12 \sin 2x=\frac{-2(-\sin x)+2(-\sin 2x)}{3-2\cos x + \cos 2x}-\frac12(-\sin 2x)$ $ ¡Note que el numerador es la derivada del denominador! Por lo tanto, la integral es$$\int \frac{\sin^5x}{1+\cos^3x} dx=\ln|3-2\cos x + \cos 2x|-\frac14\cos 2x + c$$ where $ c $ es una constante.

Sustituyendo los límites superior e inferior de$\pi$ y$-\pi$, respectivamente, se obtiene$\ln 3$.

Answer 5

¿Conoces las reglas de Bioche para funciones racionales de$\cos,\sin$?

Wiki: Règles de Bioche

En nuestro caso$w(x)=\dfrac{\sin(x)^5}{1+\cos(x)^3}\mathop{dx}$ y podemos ver que$w(-x)=w(x)$

Por lo tanto, una sustitución$\boxed{u=\cos(x)}$ es apropiada.

Después de algunos cálculos, obtienes$\displaystyle I=\int_{-1}^1 \left(u-\dfrac{2u-1}{u^2-u+1}\right)\mathop{du}$ con una buena apariencia de$\frac {f'}{f}$.