¿Está conectado$\{(x,y)\mid f(x)>y\}$ si$X$ está conectado?

Question

Supongamos que$X$ es un espacio conectado, y$f:X\rightarrow \mathbb{R}$ una función continua de valores reales. ¿Es cierto que$\{(x,y)\in X\times\mathbb{R}\mid f(x)>y\}$ está conectado?

Answer 1

Sí. Es la imagen del espacio conectado$X\times \mathbb R_{>0}$ debajo del mapa continuo$$(x, t)\mapsto (x, f(x)-t)$ $

Answer 2

Corrige un$x_0\in X$. Considere estos subconjuntos de$X\times\mathbb R$:

• $\{x_0\}\times(0,+\infty)$;
• $\left\{\bigl(x,f(x)+k\bigr)\right\}$ ($k>0$).

Todos están conectados. Entonces, para cada$k>0$ el conjunto$$G_k=\{x_0\}\times(0,+\infty)\cup\left\{\bigl(x,f(x)+k\bigr)\right\},$$since it's the union of two connected sets with a common point, which is $ (x_0, k)$. But$$\bigl\{(x,y)\in X\times\mathbb{R}\,|\,f(x)>y\bigr\}=\bigcup_{k>0}G_k.$$Since each $ G_k$ is connected and $ \ bigcap_ { k> 0} G_k = \ {x_0 \} \ times (0, + \ infty)$, which is not empty, $ \ bigl \ {(x, y) \ en X \ times \ mathbb {R} \, | \, f (x)> y \ bigr \} $ está conectado.