Demostrar que los vectores propios de $(A - pI)^{-1}$ son los mismos que los vectores propios de $A$ para un real y simétrico $A$

Question

Del libro "Numerical Linear Algebra" p. 206:

$A$ es una matriz real y simétrica. Para cualquier $p\in R$ que no es un valor propio de $A$ los vectores propios de $(A - pI)^{-1}$ son los mismos que los vectores propios de $A$ y el los valores propios correspondientes son $ \{(q_j - p)^{-1}\}$ , donde $\{q_j\}$ son los valores propios de $A$

¿Cómo se obtiene este resultado?

Answer 1

$$Av=\lambda v \\ \iff (A-pI)v=(\lambda-p)v \\ \iff (A-pI)^{-1}v=(\lambda-p)^{-1}v $$ Desde $p$ no es un valor propio de $A$ , $A-pI$ es invertible. Suponemos que $(\lambda,v)$ un par propio de $A$ en la parte superior, y $v$ para ser un vector propio en la parte inferior.

Answer 2

En realidad, esto es una combinación de varios resultados diferentes que son más fáciles de probar por separado, pero sólo para esto voy a probar todo de una sola vez.

Supongamos que $e_i$ es un vector propio de $(A - pI)^{-1}$ entonces \begin{align} (A - pI)^{-1}e_i&=(q_i - p)^{-1}e_i\\ (A - pI)(A - pI)^{-1}e_i&=(A - pI)(q_i - p)^{-1}e_i\\ (q_i - p)e_i&=(A - pI)e_i\\ q_ie_i - pe_i&=Ae_i - pe_i\\ Ae_i&=q_ie_i\\ \end{align}

Claramente, $e_i$ es un vector propio de $A$ con el correspondiente valor propio $q_i$ .

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Los resultados que utilicé en esta derivación:

Si $\lambda$ es un valor propio de $M$ con el correspondiente vector propio $v$ entonces $\lambda^{-1}$ es un valor propio de $M^{-1}$ con el correspondiente vector propio $v$ , siempre y cuando $M$ es invertible.

\begin{align} Mv&=\lambda v\\ M^{-1}Mv&=M^{-1}\lambda v\\ Iv&=\lambda M^{-1}v\\ \lambda^{-1}v&=M^{-1}v \end{align}

Si $\lambda$ es un valor propio de $M$ con el correspondiente vector propio $v$ entonces $\lambda+k$ es un valor propio de $M+kI$ con el correspondiente vector propio $v$ .

\begin{align} Mv&=\lambda v\\ (M+kI)v&=Mv+kIv\\ &=\lambda v+kv\\ &=(\lambda+k)v \end{align}

Bonificación:

Si $\lambda$ es un valor propio de $M$ con el correspondiente vector propio $v$ entonces $n\lambda$ es un valor propio de $nM$ con el correspondiente vector propio $v$ .

\begin{align} Mv&=\lambda v\\ nMv&=n\lambda v\\ \end{align}

Answer 3

Si $(A-pI)=-p(I-A/p)$ es invertible entonces $[-p(I-A/p)]^{-1}=-\frac{1}{p}\left[I-\frac{A}{p}+\frac{A^2}{p^2}+\frac{A^3}{p^3}+\cdots\right]$ . Si $v$ es un vector propio de $A$ correspondiente al valor propio $q$ entonces $(A-pI)^{-1}v=-\frac{1}{p}\left[1-\frac{q}{p}+\frac{q^2}{p^2}+\frac{q^3}{p^3}+\cdots\right]v=(q-p)^{-1}v$

Answer 4

$$(A-pI)v_i=q_iv_i-pv_i\implies (A-pI)^{-1}(A-pI)v_i=(A-pI)^{-1}(q_i-p)v_i\implies (A-pI)^{-1}v_i=(q_i-p)^{-1}v_i \quad \square$$