Probabilidad de obtener una cadena particular.

Question

Estamos generando una cadena de longitud $n$. La cadena se compone de $n_1$ $1`s$ y $n_2$ $2`s$. Donde $n_1+n_2=n $. Todas las permutaciones de la cadena son igualmente probables.

¿Cuál es la probabilidad de que el evento $A({m}_{11},{m}_{12},{m}_{21},{m}_{22} ) = \{{v}_{11} = {m}_{11},{v}_{12} = {m}_{12},{v}_{21} = {m}_{21},{v}_{22} = {m}_{22}\}$?

¿Cuál será la probabilidad de espacio en el caso? ¿Cómo puedo construir?

${v}_{ij}$ - indica el número de ocurrencias en la cadena cuando la j va inmediatamente después.

Por ejemplo, si tenemos la siguiente cadena de $122212212121$,${v}_{11} = 0, {v}_{12} = 4, {v}_{21} = 4, {v}_{22} = 3$.

No puedo bajar de cómo construir el espacio de probabilidad en el caso.

Traté de calcular la probabilidad de $A$ señalando que hay $2^n$ cadenas que podamos conseguir. Entonces pensé acerca del uso de cadenas de Markov para calcular el número de cadenas que sería inapropiado para el caso de $A$ y restas de $2^n$ y dividiendo el resultado por $2^n$ debido a la definición clásica de la probabilidad.

Me gustaría tener una mejor forma para calcular la probabilidad del evento $A$ si es posible y obtener la idea detrás de la construcción de la probabilidad de espacio.

Answer 1

Que $O(m_{11},m_{12},m_{21},m_{22})$ denotan el número de cuerdas con ocurrencias de #% de $m_{11}$% #% etcetera..., que terminan con $11$.

Del mismo modo que $1$ denotan el número de cuerdas con ocurrencias de #% de $T(m_{11},m_{12},m_{21},m_{22})$% #% etcetera..., que terminan con $m_{11}$.

Estos se pueden calcular por las siguientes relaciones de recurrencia\begin{eqnarray*} O(m_{11},m_{12},m_{21},m_{22})= O(m_{11}-1,m_{12},m_{21},m_{22})+T(m_{11},m_{12},m_{21}-1,m_{22}) \\ T(m_{11},m_{12},m_{21},m_{22})= O(m_{11},m_{12}-1,m_{21},m_{22})+T(m_{11},m_{12},m_{21},m_{22}-1) \\ \end{eqnarray *} y su pr0babilities se dan en $11$