Mostrando que todas las soluciones al % ODE $x''=4x^3$dejan de existir después de un tiempo finito

Question

Me da la "ecuación de Newton" $$x''(t)=4x^3(t)$$ La primera parte pide encontrar una "conservación de energía" de la ley. Yo te ahorraré los detalles:
la conclusión es que cada solución tiene una constante de $C$ tal que $\frac{y^2}{2}-x^4=C$ donde $y(t)=x'(t)$. (Que se desprende de la escritura de la educación a distancia como un sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias: $x'=y$ $y'=4x^3$ que es exacto).

La segunda parte de la pregunta para mostrar que, salvo en la solución trivial $x\equiv0$, todas las soluciones dejará de existir (y por lo tanto tienden a infinito) después de un tiempo finito.
Ahora, esto es algo que no puede ser inferido por el conocimiento de la relación entre el $x$ $y$ porque depende de su dependencia de $t$, por lo que sospecho que no tengo los medios para resolverlo.

Me gustaría saber ¿cuál es la técnica para estas preguntas para que yo pueda hacer el resto de los problemas en mi tarea que contienen preguntas similares (por ejemplo, que las soluciones son limitadas).

Gracias!

Answer 1

Fijo C, una vez que x es suficientemente grande y está delimitada desde abajo, por $x^2$, por lo que el tiempo que tarda $x$ ir de $n$ $n+1$es en la mayoría de las $n^{-2}$. Este es summable $n$, por lo tanto, no es un tiempo de $T$ tal que $x\to\infty$$t\to T^-$. Lo mismo si son negativos.

Ahora usted tiene que demostrar que la solución que finalmente se deja una región finita para que usted pueda aplicar esta observación que requiere de x suficientemente grande. Si van en la dirección negativa de un argumento similar obras.

Si $C\ne 0$ usted puede demostrar que $\|(x',y')\|$ está delimitada desde abajo en toda la curva por lo que se tiene que ir lejos.

También, observe que no todas las soluciones dejan de existir después de un tiempo finito. Tomando $C=0$, usted tiene $y=2x^2$ $x<0$ $y=-2x^2$ $x>0$ que se aproximan al punto fijo en $t\to\infty$. Más explícitamente, $x=\pm \sqrt 2 (t-t_0)^{-1} $ son soluciones que están definidas para todos los positivos veces.

Answer 2

Desde $$ y = \frac {dx} {dt} \\ t=\int_{x(0)} ^ \infty \frac{dx}y\\ =\int_{x(0)} ^ \infty \frac{dx}{\sqrt{2C+2x^4}}$$ y necesita mostrar esto es finito.