Computación integral con función Delta de Dirac

Question

Calcular $$ \int_{-\infty}^{\infty} t^2 \delta(\sin(t)) e^{-|t|} \mathrm dt $$ En forma cerrada, donde $\delta(t)$ es la función Delta de Dirac .

Mi intento:

$$ \int_{-\infty}^{\infty} t^2 \delta(\sin(t)) e^{-|t|} \mathrm dt = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(\sin(t))t^2 e^{-|t|}\mathrm dt $$

Luego de señalar que $\sin(t)$ es cero siempre que $t=n\pi$. Por la fórmula (2) y (7) en el enlace de arriba,

\begin{align} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(\sin(t))t^2 e^{-|t|} \mathrm dt& = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{(n\pi)^2e^{-|n\pi|}}{|\cos(n\pi)|} \\& =2\pi^2\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n)^2e^{-n\pi}}{1} \end{align}

Sin embargo , estoy atrapado aquí, no sé cómo proceder, Wolfram Alpha me dice que esta suma no convergen entonces, ¿cómo puedo calcular en forma cerrada? Sólo puedo suponer que he ido por el camino equivocado o cometido un error. Cualquier ayuda sería genial.

Answer 1

Voy a comentar sobre el cálculo de la suma. En primer lugar, la suma de $\sum\limits_{n=0}^{\infty}n^2 e^{-\pi n}$ sin duda hace converger, como $\int_0^{\infty} x^2 e^{-\pi x} \, dx$ converge. He aquí cómo me gustaría ir sobre la búsqueda de un cerrado expresión que es igual a la suma:

Tenga en cuenta que $n^2 e^{-\pi n} = \frac{d^2}{d\lambda^2}\Big|_{\lambda = \pi}e^{-\lambda n}$, y dado que vamos a estar evaluando $\lambda$$\pi$, siempre podemos suponer $\lambda > 1$. Ahora:

$$ \sum_{n=0}^{\infty} n^2 e^{-\pi n} = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{d^2}{d\lambda^2}\Big|_{\lambda = \pi}e^{-\lambda n} = \frac{d^2}{d\lambda^2}\Big|_{\lambda = \pi}\sum\limits_{n=0}^{\infty}e^{-\lambda n} \\ =\frac{d^2}{d\lambda^2}\Big|_{\lambda = \pi} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \left(e^{-\lambda}\right)^n = \frac{d^2}{d\lambda^2}\Big|_{\lambda = \pi} \frac{1}{1 - e^{-\lambda}} = \cdots $$ donde la última evaluó la igualdad proviene de la serie geométrica de la fórmula. A partir de aquí sólo se necesita evaluar la diferenciación.

Answer 2

Tenga en cuenta que $$\begin{align} \sum_{n=0}^\infty n^2x^n &=x^2\sum_{n=0}^\infty n(n-1)x^{n-2}+x\sum_{n=0}^\infty nx^{n-1}\\ &=\frac{2x^2}{(1-x)^3}+\frac{x}{(1-x)^2}\\[6pt] &=\frac{x+x^2}{(1-x)^3} \end {alinee el} por lo tanto $$, $$\begin{align} 2\pi^2\sum_{n=0}^\infty n^2e^{-\pi n} &=2\pi^2\frac{e^{-\pi}+e^{-2\pi}}{\left(1-e^{-\pi}\right)^3}\\ &=\frac{\pi^2}2\frac{\cosh\left(\frac\pi2\right)}{\sinh^3\left(\frac\pi2\right)} \end {alinee el} $$

Answer 3

Realmente Wolfram Alpha está mal.

La serie

$$\sum_{n = 0}^{+\infty} n^2 e^{-n\pi}$$

Convergen a

$$\frac{e^{\pi } \left(1+e^{\pi }\right)}{\left(e^{\pi }-1\right)^3}$$

Que es fácil demostrables mediante el uso de diferenciación bajo el signo de suma junto con la serie geométrica.