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¿Mal uso de L ' Hôpital ' regla s?

Yo estaba tratando de encontrar a la derecha de la asíntota oblicua de la función siguiente: $$ g(x)= \frac{x^2+(x+2)\cosh(x)}{\sinh(x)}=\frac{x^2}{\sinh(x)}+(x+2)\coth (x)$$ Ahora desde $\frac{x^2}{\sinh(x)}\to 0$$\coth(x)\to 1$$x\to \infty$, es fácil ver que esta asíntota es $y=x+2$. Sin embargo, cuando trato de encontrar esta asíntota a través de L'Hôpitals regla, puedo obtener un resultado diferente: $$\begin{align} \lim_{x\to \infty}g(x) & =\lim_{x\to \infty} \frac{x^2+(x+2)\cosh(x)}{\sinh(x)} \\ & \stackrel{LH}{=}\lim_{x\to \infty}\frac{2x+\cosh(x)+(x+2)\sinh (x)}{\cosh(x)} \\ & =\lim_{x\to \infty} \frac{2x}{\cosh(x)}+1+(x+2)\tanh(x) \\ & =\lim_{x\to \infty} x+3 \end{align}$$ desde $\frac{2x}{\cosh(x)}\to 0$$\tanh(x)\to 1$$x\to \infty$. Esto sugiere que la asíntota es $y=x+3$ en lugar de $y=x+2$.

Un vistazo rápido a la función con WolframAlpha muestra que $y=x+2$ es la correcta asíntota, así que muy sospechoso que de alguna manera aplicada L'Hôpitals regla en un camino equivocado. Sin embargo tengo ni idea de lo que me hizo mal. Podría alguien aclararme?

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Studer Puntos 1050

Parecen estar suponiendo que L'Hôpital conserva asíntotas, cuando no es el caso.

Tomemos por ejemplo $$ \frac{x^2(x+2)} {x ^ 2}, $$ con la asíntota obvia $x+2$. Si usted toma derivados usar L'Hôpital, obtienes $$ \frac{3x^2+4x}{2x}=\frac{3x+4}{2}, $$ y la asíntota no es lo mismo.

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gimusi Puntos 1255

Para encontrar la asíntota:

$$y=mx+n$$

se deben calcular por separado los siguientes límites:

$$m=\frac{g(x)}{x}$$

para la pendiente, y

$$n=g(x)-mx$$

para el intercepto.

Echa también un vistazo aquí:

¿Cómo encontrar la asíntota oblicua de la raíz de una función?

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