¿Qué es el coeficiente de $x^{9}$ en la expansión de $(1+x)^{12}(1+x)^{4}$?

Question

Respuesta en el libro de texto: $\sum_{k=0}^{4} \binom{12}{9-k}\binom{4}{k}$

¿Puedo yo solo multiplicar los dos términos juntos para obtener $(1+x)^{16}$ y luego aplicar el teorema de coeficiente binomial?

No sé cómo consiguieron la suma al final, sólo me enseñaron cómo encontrar el coeficiente de un término en una expansión binomial usando el teorema de coeficiente binomial...

Answer 1

Usted ha tropezado a través de un caso de Vandermonde de identidad:

$$ \sum_{k=0}^r{m\elegir k}{n\elegir r-k} = {m + n\elegir r} $$

Así que usted es de hecho correcta, la respuesta es equivalente al coeficiente de $x^9$$(1+x)^{16}$, desde $$ {16\elegir 9} = \sum_{k=0}^9{4\elegir k}{12\elegir 9-k} $$ Para obtener el segundo formulario, tenga en cuenta que $$ \begin{aligned} \ [x^9](1+x)^{12}(1+x)^4 & = [x^9]\left(\sum_{k=0}^{12}{12\choose k}x^k\right)\left(\sum_{k=0}^4{4\choose k}x^k\right) \\ & = [x^9]\sum_{k=0}^{12+4}x^k\left(\sum_{i,j\ge0,\ i+j=k}{4\choose i}{12\choose j}\right) \\ & = [x^9]\sum_{k=0}^{16}x^k\left(\sum_{j=1}^{k}{4\choose j}{12\choose k-j}\right) \\ & = \sum_{j=0}^9{4\choose k}{12\choose 9-k} \end{aligned} $$

Que va desde la primera línea a la segunda línea, hemos utilizado esencialmente de un número finito de la versión del Producto de Cauchy, y para ir desde el interior de la suma en la segunda línea para el interior de la suma en la tercera línea, tenga en cuenta que si $i+j=k$,$i=k-j$, por lo que realmente nosotros sólo nos preocupamos de $j$.

Answer 2

Si usted piensa en esto como elegir objetos, el resultado es realmente muy intuitivo. Imagen doce copias de $(1+x)$ establecidos. Es la única manera de conseguir un término de $x^9$ cuando ampliamos a recoger exactamente $9$ %#% de #% y $x$ $7$ ' s. alternativamente, si tenemos copias de $1$ % # % seguido por el $12$ más #%, podemos imaginar escogiendo la primera $(1+x)$ %#% de #% de los primeros $4$ y el restante $k$ de th e siguiente $x$.

Answer 3

Sí, usted puede poner fácilmente juntos para conseguir $(1+x)^{16}$. Pero, creo que los libros de texto quiere que usted aprenda a dividir la binomial. Así, en esta la razón por la que tienen una suma que la respuesta es porque hay muchas maneras de $x^9$. Un par de las formas en que se $x^0$ a partir del primer término y la $x^9$ a partir de la segunda $x^1$ desde el primer plazo, y $x^8$ a partir del segundo semestre, $x^2$ a partir del primer término y la $x^7$ a partir del segundo semestre, etc. Suma de todos los coeficientes de seguridad y, a continuación, la compresión en notación sigma crea su respuesta. Para mí, obviamente iba a hacerlo a tu manera, pero creo que el libro quiere usted tomar algo de eso :D

Las dos respuestas son de hecho iguales. Retirar el Vandermonde de identidad.

Answer 4

El % de factorización $(1+x)^{12}(1+x)^4$no es accidental. Vamos a ampliar usando el teorema del binomio:

$$\sum_{k=0}^{12}\binom{12}{k}x^k\cdot\sum_{m=0}^{4}\binom{4}{m}x^m.$$

¿$x^9$ En esta expansión? Obtenemos esta energía cuando $k=9,m=0$, $k=8,m=1$, $k=7,m=2$, $k=6,m=3$ y $k=5,m=4$. Entonces nuestro coeficiente es %#% $ de #% es!!!