Formas de llegar a la existencia de números irracionales

Question

Sé que acerca de una manera de los Griegos llegaron a la existencia de los números irracionales, mostrando que, a veces, dos segmentos de línea que pueden ser inconmensurables.

Y acerca de una manera sencilla por lo que se puede demostrar que algunos de los números son irracionales, por ejemplo, como se suele demostrado que $\sqrt2$ es irracional.

También, se puede demostrar que algunos de los números son trascendentales y porque todos los racionales son algebraicos que muestra que hay algunas que no-racional, es decir, los números irracionales.

Y también hay un camino que muestra que todos los números racionales periódicos de expansión en cada base y desde hay no periódicas expansiones que también muestra la existencia de irrationals.

Y hay countability/uncountability manera.

Hay algunas otras maneras?

Answer 1

Desde mi punto de vista, la clave de tales pruebas es la completitud de los números reales.

En el nivel más básico, la definición de la propiedad de $\mathbb{R}$ es que es una completa ordenó campo. Ahora $\mathbb{Q}$ es también un orden de campo, por lo que no va a ser capaz de demostrar la existencia de irrationals por pura álgebra o las desigualdades. En algún lugar, usted tendrá que usar su integridad. De hecho, la existencia de irrationals es equivalente al hecho de que $\mathbb{R}$ es completa sino $\mathbb{Q}$ no lo es.

Es interesante observar donde la integridad es utilizado en el otro habitual de las pruebas:

• $\sqrt{2}$ es irracional: ¿Cómo sabes que $2$ tiene una raíz cuadrada? Hay un montón de número de sistemas en los que un montón de números simplemente no tienen raíces cuadradas (por ejemplo, los números enteros, aritmética modular; incluso en $\mathbb{R}$ a los números negativos no tienen raíz cuadrada). Entonces, ¿qué es tan especial acerca de $\mathbb{R}$ a garantizar que $2$ tiene una raíz cuadrada? Integridad, por supuesto. Usted puede construir una secuencia de Cauchy racionales tales que si se tiene un límite, el cuadrado de la suma asegurada deberá ser de 2. O usted puede mirar en el Dedekind corte $\{x : x^2 < 2\}$. O usted puede probar que el teorema del valor intermedio (utilizando integridad!) y considerar la función continua $x^2$ que toma valores por encima y por debajo de los 2.

• $\log_2 3$: De la misma manera, ¿cómo sabes que $3$ tiene un registro de la base 2? Hay un montón de otros sistemas de numeración en el que los registros no existen, por ejemplo, no sólo no existe ningún número $x$ tal que $2^x = 3$.

• Fracciones continuas: ¿cómo sabe usted que la continuación de la fracción en realidad converge a algo?

• $\mathbb{Q}$ es contable, pero $\mathbb{R}$ no es: usted tiene que utilizar la exhaustividad en algún lugar en la comprobación de que $\mathbb{R}$ es incontable. (La categoría de Baire teorema es una buena manera para ver que se hace explícita.)

• 0.1010010001...: ¿por qué cada secuencia de dígitos decimales, en realidad representan un número?

• $e$: Primero tiene que dar una definición rigurosa de $e$. Cualquier definición que se elija, lo que demuestra que existe un número satisfactorio que la definición se requiere el uso de la integridad.

Answer 2

Logorithms son un fácil "en" para encontrar los irrationals. Supongamos que $\log_2 3=\frac{a}{b}$. Entonces $3=2^{a/b}$, que $3^b=2^a$, que es imposible a menos que $a=b=0$, que no permitido por la configuración original porque provocaría $\log_2 3=\frac{a}{b}$ $\frac{0}{0}$.

Answer 3

Cualquier infinito fracción continuada simple es irracional debido a que cualquier número racional tiene una fracción de continua simple finita.

Answer 4

Su tercera declaración, no está redactado correctamente. De hecho, para demostrar que algunos de los números son trascendentales, no es especialmente fácil. La primera prueba para un bien conocido es por $e$. El más simple argumento depende de una serie de aproximaciones (la serie de Taylor para $e$ que converge "demasiado pronto" para ser algebraicas, pero es en ninguna parte cerca tan simple como la prueba de que $\sqrt{2}$ es irracional.

Hay muchas formas de mostrar irrationallity, y varios para mostrar trancendentallity. Por ejemplo, un número expresado como una repetición continua fracción algebraica.