¿Tiene $\lim_{n\rightarrow \infty} \left(r+\frac{1}{n^2}\right)\uparrow \uparrow n=e$?

Question

¿Tiene $$\lim_{n\rightarrow \infty}\left (r+\frac{1}{n^2}\right)\uparrow \uparrow n=e$ $?

$r$ es el número $e^{e^{-1}}$, el mayor número de bienes para los cuales converge la energía infinita Torre $r\uparrow r\uparrow r\uparrow \cdots$. Así que tenemos una torre de energía de los números de $n$ con el valor $e^{e^{-1}}+\frac{1}{n^2}$. Ejemplos numéricos de que calculó con PARI/GP indican que el error es $\frac{3.614}{n}$.

Answer 1

De Gerald Edgar 1991/1992 explicación de la Pi en el conjunto de Mandelbrot, nos enteramos de que la iteración de una función del tipo $x \mapsto x^2+x+\epsilon\;$ tomará aproximadamente $\frac{\pi}{\sqrt{\epsilon}}$ iteraciones para escapar, donde se empieza por el punto crítico en x=-0.5. De Gerald Edgar Pi y el conjunto de Mandelbrot, "por Lo que nuestra ecuación ahora dice $y'(n) = y^2 + \epsilon$. Este tiene la solución $a\tan(an+c)$ donde $a = \sqrt{\epsilon}$"

Resulta que nos podemos poner la ecuación de iteración en la Op tetration expresión en una forma similar, para $$b>\exp\left(\frac{1}{e}\right);\;\;\; x \mapsto b^x$$

En primer lugar vemos que si $\epsilon=\ln(\ln(b))+1$, e $y=x\cdot\ln(b)+(-1+\epsilon)$, entonces la iteración $$y \mapsto \exp(y)-1+\epsilon\;\;\;\text{is exactly congruent to}\;\;\; x \mapsto b^x$$

Observe también que $\epsilon$ se aproxima a cero como b enfoques $\exp(1/e)$, e $\exp(y)-1=y+\frac{y^2}{2}+\frac{y^3}{6}...$, por lo que este también está cerca de la forma deseada, excepto que ha $\frac{y^2}{2}$ en lugar de $y^2$

En lugar de eso, tenemos $$z=\frac{y}{2}= \frac{x\cdot\ln(b)+(-1+\epsilon)}{2}$$ y luego repetimos $$z \mapsto \frac{\exp(2z)-1+\epsilon}{2}\;\;\;\text{is exactly congruent to}\;\;\; x \mapsto b^x$$

Y $\frac{\exp(2z)-1}{2}=z+z^2+\frac{2z^3}{3}+\frac{z^4}{3}...$ tiene exactamente la forma deseada a la aproximación de $\frac{\pi}{\sqrt{\epsilon}}$ iteraciones por la tangente aproximación.

Así que ahora con un poco de álgebra, necesitamos una ecuación para $\epsilon$ en términos de la Op de la ecuación. $$\epsilon = \ln\left(\ln\left( \exp(1/e)+\frac{1}{n^2}\right)\right)+1$$ $$\epsilon = \frac{e}{n^2\exp(1/e)} + \mathcal{O}(\frac{1}{n^4})$$

Estamos iterando $z\mapsto f(z)+\epsilon/2\;\;$, por lo que esperamos que la aproximación para el total de tiempo de escape a ser $$\pi \cdot n \sqrt{\frac{2\exp(1/e)}{e}}$$

Pero el Op está interesado en ¿cuánto tiempo se necesita para recorrer hasta llegar al valor de e, el cual es casi la mitad... El punto medio es donde la tangente aproximación se centra en el punto de inflexión, que es de 3 o 4 iteraciones antes de que el punto a mitad de camino desde sexp(0)=1 y desde el punto de inflexión se encuentra a 1,5 iteraciones a la izquierda de e. Así que aquí está mi última aproximación. $$b=\exp\left(\frac{1}{e}\right)+\frac{1}{n^2};\;\;\;\text{slog}_b(e)\approx \frac{\pi\cdot n}{2}\sqrt{\frac{2\exp(1/e)}{e}}\approx 1.619465272666037 \cdot n$$

Aquí $n=\text{slog}_b(x)$ se refiere a la función inversa de la $x = b \uparrow \uparrow n$ tetration la notación extendida a los reales. Vamos a usar esta aproximación para $\frac{1}{n^2}=10^{-10}$, y, a continuación, la ecuación da 161946.5 iteraciones, y la iteración cruces $e$ entre 161941..161942 iteraciones, por lo que esta es una muy buena estimación.