integral de un conjunto de medida cero

Question

deje $X$ ser un número finito de medir el espacio y $\{f_n\}$ ser una secuencia de no negativo de funciones integrables, $f_n \rightarrow f\ a.e.$$ X$. Sabemos que $\lim_{n \rightarrow \infty}\int_X f_n d\mu=\int_X fd\mu$ y en cualquier medibles $E_i \subset X$

Que debo aplicar Egoroff del teorema a la conclusión de que la $\lim_{n \rightarrow \infty}\int_X |f_n-f|d\mu=0$.

Mi intento:

Se me rompió el set $X$ a dos conjuntos: $F_\sigma$ que $f_n \rightarrow f$ uniforme basado en Egoroff del teorema y $X\backslash F_\sigma$ que es un conjunto muy pequeño, es decir, $\mu\{X\backslash F_\sigma\}=\sigma$ $f_n \nrightarrow f$

Quiero mostrar que en cada uno de estos grupos, la integral es menos de $\frac{\epsilon}{2}\ \forall \epsilon$ al finalizar. ¿Cómo puedo mostrar esto para el conjunto de $X \backslash F_\sigma$?

Answer 1

Asumo $f$ integrable, de lo contrario no es necesariamente cierto, como el cobre.sombrero de la muestra.

Fijar un número entero $k$, e $E_k$ medible tal que $\mu(X\setminus E_k)\leq k^{-1}$$\sup_{x\in E_k}|f_n(x)-f(x)|\to 0$. Tenemos, con la hipótesis, \begin{align} \int_X|f-f_n|d\mu&=\int_{E_k}|f-f_n|d\mu+\int_{X\setminus E_k}|f-f_n|d\mu\\ &\leq \mu(E_k)\sup_{x\in E_k}|f(x)-f_n(x)| +\int_{X\setminus E_k}|f-f_n|d\mu\\ &\leq \mu(X)\sup_{x\in E_k}|f(x)-f_n(x)| +\int_{X\setminus E_k}|f-f_n|d\mu. \end{align} Tomando $\limsup_{n\to +\infty}$, obtenemos $$\limsup_{n\to +\infty}\int_X|f-f_n|d\mu\leq \limsup_{n\to +\infty}\int_{X\setminus E_k}\left(|f-f_n|-(|f_n|-|f|)\right)d\mu,$$ utilizando el hecho de que $\int_{X\setminus E_k}f_nd\mu\to \int_{X\setminus E_k}fd\mu$.

Como $0\leq |f-f_n|-(|f_n|-|f|)\leq 2f$, tenemos para cada una de las $k$, $$\limsup_{n\to +\infty}\int_X|f-f_n|d\mu\leq \int_{X\setminus E_k}fd\mu.$$ Deje $s_l$ una función simple, que $0\leq s_l\leq f$$\int_X (f-s_l)d\mu\leq l^{-1}$. Podemos escribir $s_l(x)=\sum_{j=1}^{N_l}a_{j,l}\chi_{B_{j,l}}$ donde $B_{j,l}$ son medibles y conjuntos de $a_{j,l}$ los números reales positivos. A continuación, para cada una de las $k,l$ enteros positivos, \begin{align} \limsup_{n\to +\infty}\int_X|f-f_n|d\mu&\leq\int_{X\setminus E_k}(f-s_l)d\mu+ \int_{X\setminus E_k}s_ld\mu\\ &\leq \int_X(f-s_l)d\mu+\sum_{j=1}^{N_l}a_{j,l}\mu(B_{j,l}\cap E_k^c)\\ &\leq l^{-1}+\sum_{j=1}^{N_l}a_{j,l}\mu(B_{j,l}\cap E_k^c)\\ &\leq l^{-1}+k^{-1}\sum_{j=1}^{N_l}a_{j,l}\mu(B_{j,l}). \end{align} Tomando el$\limsup_{k\to +\infty}$$\limsup_{l\to +\infty}$, obtenemos el resultado.

Answer 2

No creo que esto es cierto a menos que usted asume $f$ es integrable.

Tomar la medida de Lebesgue, $X=[0,1]$, $f(x) = \frac{1}{x}$, $f_n = f \cdot 1 _{[\frac{1}{n},1]}$. Entonces $f_n(x) \to f(x)$ $(0,1]$, $\int f_n = \log n$, por lo tanto, $f_n$ es integrable y $\int_E f_n \to \int_E f$ % todo $E$medibles. Sin embargo, $\int |f_n-f| = \infty$ % todos $n$.