Intuición para dinatural y transformaciones extranatural

Question

Conceptualmente, natural transformaciones hacen perfecto sentido. ¿Qué es la intuición detrás de dinatural y extranatural transformaciones?

Añadido: estoy buscando conceptual de la intuición, no es algo solo de las líneas de "la curvatura natural de la transformación". Por ejemplo, mi conceptual de la intuición natural de transformaciones es que connaturalidad en $A$ de una flecha $FA\rightarrow GA$ significa que la flecha no (en un sentido) depende del objeto al $A$. La forma de ver esto es el hecho de connaturalidad plazas conmutar de forma independiente del elemento específico de $\mathsf{Hom}(A,B)$, lo que, por un Yoneda-tipo de argumento, exactamente significa que no se preocupan por el objeto $A$ sí.

Answer 1

Dinaturality y extranaturality son sólo el correcto tipo de connaturalidad de algunas construcciones. Aquí es quizás el ejemplo más sencillo: si $V$ es un espacio vectorial y $V^{\ast} = \text{Hom}(V, k)$ es su espacio dual, entonces creo que usted estará de acuerdo en que no es una evaluación de emparejamiento

$$\text{ev} : V \otimes V^{\ast} \to k$$

y que es en cierto modo natural en $V$. Pero ¿en qué sentido? El problema con el solo uso de connaturalidad es que $V$ es un functor covariante de $V$ pero $V^{\ast}$ es un functor contravariante. Sin embargo, si usted acaba de tratar de escribir con sus manos desnudas exactamente en qué sentido la evaluación de emparejamiento es natural, usted va a terminar de escribir un caso especial de extranaturality.

$\text{ev}$ también tiene una interpretación natural en términos de cadena de diagramas que se describe por ejemplo en estas entradas del blog.

Answer 2

Deje $ F,G : {\bf C} \to {\bf D} $ ser functors. Una transformación natural es sólo un conjunto de mapas de $$ \{ \alpha_C : F(C) \to G(C) \}_{C \in {\bf C}} $$ que satisfacer una coherencia condición: para cada uno de los morfismos $f : C \to C' $$ {\bf C} $, el siguiente diagrama conmuta: $$ \requieren{AMScd} \begin{CD} F(C) @>{\alpha}>> G(C)\\ @V{F(f)}VV @V{F(f)}VV \\ F(C') @>{\alpha}>> G(C') \end{CD}. $$ Natural transformaciones no son el ser y el fin de la coherencia en la categoría de teoría. Por ejemplo, el pentágono axioma es una coherencia en la condición que aparece cuando la definición de monoidal categorías. Extranatural transformaciones son sólo conjuntos de mapas que satisfacer una coherencia en la condición de que se ve un poco como las naturales transformaciones.

De hecho, vamos a $ T : {\bf C}^{\rm op} \times {\bf C} \to {\bf D} $ ser un functor y $D$ un objeto en ${\bf D}$. Un extranatural de transformación de $D \to T $ es un conjunto de mapas $$ \{ \beta_A : D \T(C,C) \}_{C \in {\bf C}} $$ tal que para cada mapa $ f : B \to C$ el siguiente diagrama conmuta: $$ \requieren{AMScd} \begin{CD} D @>{\beta}>> T(B,B)\\ @V{\beta}VV @V{T(1,f)}VV \\ T(C,C) @>{T(f,1)}>> T(B,C) \end{CD}. $$ Este tipo de extranatural de transformación es importante porque el fin de la $T$ es el terminal extranatural de transformación de $D \to T$.

Una vez que esté satisfecho con este caso, la definición general no es mucho peor. Aquí es donde la "cadena de diagramas" vienen en. Estas cadenas diagramas son diferentes de las que se usan para anotar el 2-categorías.

Tomar un bipartito gráfico donde cada vértice tiene valencia 1. Etiquetar los vértices como en el siguiente diagrama:

Elegir functors $ T : {\bf C}^{\rm op} \times {\bf A} \times {\bf C} \times {\bf D} \to {\bf Q} $$U : {\bf D} \times {\bf E} \times {\bf A} \times {\bf E}^{\rm op} \to {\bf Q} $. A continuación, una extranatural de transformación de $ T \to U$ se compone de los mapas $$ \{ \gamma_{A,C,D,E} : T(C,a,C,D) \a U(D,E,a,E) \} $$ que satisfacen un montón de coherencia de las condiciones de los dos tipos anteriores. Usted puede verticalmente componer dos extranatural transformaciones exactamente cuando el dominio bipartito gráficos pegamento juntos. Esto fue demostrado por Eilenberg y Kelly en el papel de "Una generalización de la functorial cálculo".