¿Cuál es la razón geométrica de ¿por qué es la divergencia del enrollamiento de un campo vectorial igual a cero?

Question

¿Cuál es el geométrica de razón de por qué es la divergencia de la curvatura de un campo vectorial es igual a cero? Sé cómo demostrarlo, pero no acabo de conseguir algunos intuición detrás de él.

He visto algunos de los argumentos que tratan a la del operador como un vector de la función, pero creo que esto no es tan correcto como en algunos casos esta analogía falla.
Esto se describe en http://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_02.html en las secciones 2-7 y 2-8 pero da buenos explicaciones sobre por qué pensar acerca de la del operador como un vector normal funciona en algunos casos, mientras que no funciona en otros casos.

Answer 1

Recuerde que en el caso análogo $\nabla \times \nabla f = 0$, algunos intuición para el resultado puede ser alcanzado por la integración: por el Verde del teorema de esto es equivalente a $\int \nabla f \cdot ds = 0$ alrededor de cada lazo cerrado, lo cual es cierto porque $\int_{\gamma} \nabla f \cdot ds = f(\gamma(1)) - f(\gamma(0)).$, con Lo que nuestra intuición es que la curvatura de las medidas de circulación, y $\nabla f$ no puede circular porque esto sería introducir una discontinuidad en $f$ alrededor de un bucle.

Vamos a tratar de la misma cosa: por el teorema de la divergencia, es suficiente para mostrar que $\int_\Sigma (\nabla \times V) \cdot \hat n\ dA = 0$ por cada superficie cerrada $\Sigma$. Por Stokes teorema sabemos $$\int_\Sigma (\nabla \times V) \cdot \hat n\ dA = \int_{\partial \Sigma}V\cdot ds,$$which vanishes because $\Sigma$ is closed (i.e. $\partial \Sigma = \emptyset$).

En más términos intuitivos, la divergencia de las medidas de flujo a través de un pequeño cubo; pero el flujo de un bucle a través de una superficie cerrada debe ser cero, porque no hay ninguna curva de límite para la circulación que se acumulan sobre la.

Como sin Nombre eludió en su comentario, usted puede obtener más unificado de la comprensión de lo que está pasando aquí mediante el estudio de formas diferenciales. Todos estos geométrico de los operadores diferenciales $\nabla, \nabla \times, \nabla \cdot$ son exteriores derivados $d_0,d_1,d_2$, y la identidad de $d_{k+1} \circ d_k = 0$ puede ser visto ya sea por la expansión de la derivada parcial de la expresión y observando que todo se cancela (lo que supongo que has hecho en la prueba), sino también por la aplicación del teorema de Stokes, dos veces, y tomando nota de que el límite de una frontera siempre está vacío.

Answer 2

Un muy buen punto de vista sobre esto se da por examinar la deRham complejo de $\mathbb{R}^3$ (como ya se ha mencionado en los comentarios y en Anthony respuesta):

Tenemos, por supuesto,$\Omega^0(\mathbb{R}^3) = C^\infty(\mathbb{R}^3)$, por definición, y también podemos identificar los $\Omega^3(\mathbb{R}^3)\cong C^\infty(\mathbb{R}^3)$ mediante el envío de $f\,dx\wedge dy\wedge dz$$f$. Además, podemos identificar tanto las $\Omega^1(\mathbb{R}^3)$ $\Omega^2(\mathbb{R}^3)$ con el espacio $\Gamma(\mathbb{R}^3)$ de los campos vectoriales (no voy a escribir estas identificaciones hacia abajo, pero usted será capaz de recuperar de lo que sigue). Entonces, bajo estas identificaciones, los diferenciales $d$ se $$0\longrightarrow C^\infty(\mathbb{R}^3)\stackrel{\text{grad}}{\longrightarrow}\Gamma(\mathbb{R}^3)\stackrel{\text{curl}}{\longrightarrow}\Gamma(\mathbb{R}^3)\stackrel{\text{div}}{\longrightarrow}C^\infty(\mathbb{R}^3)\longrightarrow0.$$ Como el cohomology anillo de $\mathbb{R}^3$ está dado por $H^\bullet_{dR}(\mathbb{R}^3)=\mathbb{R}$ (concentrado en grado $0$), tenemos la costumbre de identidades \begin{align} \text{curl}\circ\text{grad} = & 0,\\ \text{div}\circ\text{curl} = & 0, \end{align} además de los hechos de que:

1. Si $X\in\Gamma(\mathbb{R}^3)$ es tal que $\text{curl}(X) = 0$, entonces no es $f\in C^\infty(\mathbb{R}^3)$ tal que $\text{grad}(f) = X$, y dos de los $f$ puede sólo difieren por una constante.
2. Si $Y\in\Gamma(\mathbb{R}^3)$ es tal que $\text{div}(Y) = 0$, entonces no es $X\in\Gamma(\mathbb{R}^3)$ tal que $\text{curl}(X) = Y$, y dos de los $X$ sólo se diferencian por el gradiente de una función.