Valoraciones de polinomios del número entero valorado

Question

Consideremos el anillo de $R=\text{Int}(\mathbb Z):=\{p(x)\in \mathbb Q[x]\ |\ p(n)\in \mathbb Z, \forall n\in \mathbb Z \}$. Deje $K$ el valor de la fracción de campo de $R$.

Fijar un $a\in \mathbb Z$ y deje $P$ ser el primer ideal definido por $P:=\{q(x)\in R\ | \ q(a)\equiv 0 (\text{mod } p)\}$ y deje $R_P$ indican la localización de $R$$P$.

Deje $\Gamma$ el valor de la ordenada totalmente grupo $\mathbb Z \times \mathbb Z$, donde la operación es la suma de las componentes y el orden es el lexicográfica.

Encontrar un surjective valoración $v:K\rightarrow \Gamma$ de tal forma que su valoración correspondiente anillo es, precisamente,$R_P$.

Ahora, cuando tratando de encontrar a $v\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=(c_1,c_2)\in \mathbb Z\times \mathbb Z$, he pensado en usar una expresión similar como para el $p$-ádico de valoración en $\mathbb Q$, es decir, definir $c_2=e_p(f(a))-e_p(g(a))$ para uno de los componentes, sin embargo, el problema con esto es que se obtiene un valor positivo, incluso cuando $\frac{f(x)}{g(x)}$ no $R_P$, es decir, decir si $e_p(f(a))=2, e_p(g(a))=1$. He estado tratando de encontrar algunas buenas funciones de $P(X,Y)$, de modo que $P(X_1+X_2,Y_1+Y_2)=P(X_1,Y_1)+P(X_2,Y_2)$, que podría ayudar aquí, pero ninguno de ellos eran surjective en $\mathbb Z$.

Answer 1

Para la simplicidad que se llevará a $a=0$. La sustitución de $x\mapsto x+a$ nos permite manejar arbitraria $a$.

Yo reclamo que cada elemento de a $\mathbb{Q}[x]$ con término constante $1$$R_P$, y de hecho es una unidad en $R_P$. Para ver esto, tome $f(x)\in\mathbb{Z}[x]$ $n$ un entero positivo. Entonces $$A_{f n}(x):=\frac{(xf(x)+1)\ldots (xf(x)+n)}{n!}$$ es en $R$, e $A_{f,n}(0)=1$$A_{f,n}\not\in P$. Por lo tanto $A_{f,n}$ es una unidad en $R_P$. Además, hemos $$\frac{A_{f n}}{A_{f,n-1}}=1+\frac{xf(x)}{n}\en R_P^\times.$$ Cada polinomio en $\mathbb{Q}[x]$ con término constante $1$ puede ser escrito $1+xf(x)/n$ algunos $f$$n$, por lo que esto demuestra la reclamación.

Ahora, cada elemento de la $R_P$ es una función racional, el cual es definido y $p$integral en $x=0$. Por el contrario, cada función racional definida y $p$integral en $0$ y puede escribirse en la forma $$r\frac{a(x)}{b(x)}\hspace{10 mm}\text{o}\hspace{10 mm}\frac{a(x)-1}{b(x)},$$ con $r\in\mathbb{Z}_{(p)}$ $a,b\in\mathbb{Q}[x]$ con término constante $1$. Por lo tanto $R_P$ es, precisamente, el conjunto de funciones racionales $f\in\mathbb{Q}(x)$ que se definen y $p$integral en $x=0$.

Finalmente podemos definir la valoración $v$. Para $\varphi(x)\in\mathbb{Q}(x)=K$, definir $$v(\varphi(x))=\left( v_x(\varphi), v_p\big(\varphi(x) x^{-v_x(\varphi(x))}\big|_{x=0}\big)\right).$$ Aquí $v_x$ $x$- ádico de valoración en $K$. En otras palabras, $v(\varphi)=(c_1,c_2)$ donde $c_1$ es el poder de la $x$ dividiendo $\varphi$ $c_2$ es el poder de la $p$ dividiendo el líder plazo en el Laurent expansión de la serie de $\varphi$ centrada en $x=0$. Para arbitrario $c_1$, $c_2$, tenemos $v(x^{c_1}p^{c_2})=(c_1,c_2)$, lo $v$ es surjective. Además, vemos que la valoración anillo de $v$ es el conjunto de funciones racionales que se definen y $p$integral en$x=0$,$R_P$.