Yo quería hablar de mi intuición de por qué se formula el concepto de continuidad en términos de pre-imagen de conjunto abierto es abierto en lugar de imágenes, por ejemplo, si consideramos $f(x) = c$ donde $c$ es una constante, entonces eso debe ser continua, pero si formulamos la continuidad en términos de imágenes no ser continua. Es la razón por la que hacemos de esa manera, porque la pre-imágenes siempre es garantía de que la función en el dominio sólo puede ha $1$ valor?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
No es agradable para formularlo en términos de imágenes. El comportamiento de las imágenes varía enormemente entre las distintas funciones continuas. Tomar el intervalo de $(-10,10)$ y las funciones de $f_1(x) = x$$f_2(x) = \sin x$. A continuación, la imagen de $(-10,10)$ bajo $f_1$ de curso $(-10,10)$, pero la imagen de $(-10,10)$ bajo$f_2$$[-1,1]$. Con una función de obtener un conjunto abierto, con otro que obtener un conjunto cerrado. Por supuesto, usted puede explorar los otros casos de semi-abierta/cerrada mitad o de otros fenómenos. Usted no puede hacer cualquier declaración significativa acerca de las imágenes de bloques abiertos. Ni siquiera se puede afirmar nada con seguridad sobre el comportamiento local (las imágenes de los "pequeños" bloques abiertos) porque no son abundantes localmente constante de funciones.
Usted podría querer voltear esta en su cabeza, a continuación, dado que las imágenes de abrir conjuntos no funciona: ¿qué acerca de las imágenes de conjuntos cerrados? Esto también no funciona. Considere la posibilidad de $\mathbb{R}$ y la función de $f_3(x) = \arctan x$, entonces la imagen de a $\mathbb{R}$ bajo $f_3$ $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ que es un conjunto abierto.
La belleza de pre-imágenes es que las funciones que intuitivamente ver como continua han abierto establece como pre-imágenes de bloques abiertos. Quizás lo más cerca que se puede llegar a una declaración acerca de las imágenes es que las funciones continuas mapa compacto de conjuntos de conjuntos compactos, sin embargo, hay funciones discontinuas que hacer esto: considere el $[-1,1]$ $f_4(x) = 1$ si $x>0$, $f_4(0) = 0$ y $f_4(x) = -1$ si $x<0$. A continuación, $f_4$ mapas de un conjunto compacto a un conjunto compacto, pero definitivamente no es continua en la topología usual.
Hagen von Eitzen
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Considere la posibilidad de $f\colon A\to B$. Los cambios en el dominio de "control" de lo que sucede con la imagen, el valor de $x\in A$ es "causal" por el valor de $f(x)\in B$. Por lo tanto, usted puede pensar que va desde el dominio de la imagen es la natural manera de definir la continuidad. Sin embargo, la continuidad es acerca de lo bien que se puede predecir la imagen $f(x)$ si queremos modificar ligeramente $x$; es decir, si sólo podemos mantener $x$ "bajo control" bastante bien (es decir, mantener los cambios, influencias, error, o lo que sea lo suficientemente pequeño) , a continuación, también mantenemos $f(x)$ bajo control (es decir, mantener su cambio o error como centro comercial como es deseado). En esta formulación, que todavía suena como algo gowing de$A$$B$. Pero si podemos formular que el "deseo" (para un espacio métrico) como $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$ y el control que se imponen en el lado del dominio como $|x_0-x|<\delta$, entonces llegamos exactamente a la épsilon-delta-definición: Para cualquier $\epsilon>0$ (deseada) existe (es decir, podemos controlar) $\delta>0$ tal que $|x-x_0|<\delta$ implica $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$. Aquí es donde el cambio de sentido se produce: $\epsilon$ es elegido en primer lugar y, a continuación, en función de que nos pick $\delta$.
Así, podemos formular esta con imágenes de abrir? No, porque mientras que la definición implica algo acerca de la imagen de una pelota, es decir, $f(B_\delta(x_0))\subseteq B_\epsilon(f(x_0))$ ($B$ denotando abrir pelota), el problema es que $\epsilon$ es dado antes de recoger a nuestros $\delta$. Es decir, no podemos convertir esto en "Para cada abierto balón $B_\delta(x_0)$, la imagen de $f(B_\delta(x_0))$ tiene algún tipo de propiedad". La reescritura de la inclusión como $B_\delta(x_0)\subseteq f^{-1}(B_\epsilon(x_0))$ obtenemos el derecho de formulación, es decir, la preimagen de una pelota (alrededor de un punto de $f(x_0)$en la imagen) contiene una bola abierta (alrededor de ese punto $x_0$); y en la generalización: La preimagen de un conjunto abierto es abierto.
Pedro Tamaroff
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Hurkyl
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Lo hacemos porque funciona, tenemos una idea de que algunas cosas deben ser continuas y otras cosas no, y con esta definición, son o no son tan deseado!
En última instancia, que es lo que realmente importa: que las consecuencias de la definición de partido de cualquier noción de que estamos tratando de capturar.
La definición no tiene que ser intuitivo, ser natural, o incluso llevar una semejanza superficial con la noción de que estamos tratando de capturar con la definición; es bueno para la pedagogía si no tienen esas cualidades, pero a veces nos tenemos que conformar con lo que podemos obtener, y a veces es mejor hacer la intuición coincide con la definición en lugar de la otra manera alrededor.
Aunque, muchas veces, la definición coincide con la intuición mucho mejor de lo que parece, y todo lo que usted necesita hacer es entender mejor lo que la definición está diciendo. Y de la OMI, la mayoría del tiempo, cuando no, su intuición es realmente acerca de algún otro concepto que el de la definición que se pretende capturar.
Andy
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21
El espacio métrico versión tiene algún sentido. En el espacio métrico caso, dado ningún balón $B_1$ (tal vez muy pequeño) en torno a $f (x)$, hay una bola de $B_2$ $y $ donde $f (y) \in B_1$. De manera informal, tiene algunos tal vez pequeña cantidad de espacio de maniobra en el dominio, dado ningún positivo máximo de cantidad de movimiento en el codominio. En este sentido, "los pequeños cambios en el dominio de llevar a los pequeños cambios en el codominio".
No es tan fácil ver que este es el camino correcto generalizar, sin embargo.
