Ejercicio 1.1.18 en Hatcher ' s topología algebraica

Question

De fondo

Actualmente estoy tratando de resolver el ejercicio 1.1.18 en Hatcher Topología Algebraica. La parte del ejercicio que me interesa es la siguiente:

El uso de la técnica en la prueba de la Proposición 1.14, muestran que si un espacio de $X$ se obtiene a partir de una trayectoria-conectado subespacio $A$ adjuntando una celda n $e^n$$n ≥ 2$, entonces la inclusión de $A \hookrightarrow X$ induce un surjection en $\pi_1$ .

Sé que $i:A \hookrightarrow X$ induce un homomorphism $i_*:\pi_1(A)\rightarrow \pi_1(X)$, por lo que sólo necesita mostrar que este es un surjection. Creo que entiendo la idea de la prueba, que es mostrar que cada bucle de $f\in \pi_1(X)$ es homotópica a un bucle que está completamente contenida en $A$. Hatcher sugerencia es seguir la prueba de $\pi_1(S^n)=0$$n\geq 2$, lo que significa que debemos ser capaces de empujar a las secciones de $f$ que se adjunta $n$-cell $e^n$. Esto me causa un poco de problemas.

Intento

Desde $X$ se define como el resultado de la fijación de un $n$-cell $A$ a través de algunos adjuntar mapa de $\varphi:\partial D^n\rightarrow X$, tiene la forma $X=A \amalg e^n/\sim$ donde $x\sim \varphi(x)$ todos los $x \in \partial D^n$. Nota primero que desde $A$ $e^n$ ruta conectado, la contigüidad espacio de $X=A\cup_\varphi e^n$ es la ruta de acceso conectado. Como tal, la elección de la base del punto de no afectar la estructura de $\pi_1(X)$, así que vamos a $x_0 \in A$ ser el punto de partida de $\pi_1(X)$ estamos trabajando. Deje $f \in \pi_1(X,x_0)$. Deje $E=\text{Int}(e^n)$ y considerar la posibilidad de $f^{-1}(E)$. Este es un subconjunto abierto de $(0,1)$, por lo que es la unión de un posiblemente infinita colección de subconjuntos de a $(0,1)$ de la forma $(a_i,b_i)$. Deje $f_i$ denotar la restricción de $f$$(a_i,b_i)$. Tenga en cuenta que $f_i$ se encuentra en $e^n$ y, en particular, $f(a_i)$ $f(b_i)$ mentira en el límite de $e^n$, por lo que son elementos de $A$. Para $n\geq 2$ podemos homotopy $f_i$ a el camino de $g_i$ $f(a_i)$ $f(b_i)$que va a lo largo de la frontera de $e^n$, que es homeomórficos a $S^{n-1}$, por lo que es la ruta de acceso conectado para $n\geq 2$. Desde $e^n$ es homeomórficos a $D^n$ donde $n\geq 2$, es simplemente conectado para $f_i$ $g_i$ son homotópica. Repetir este proceso para todas las $f_i$, obtenemos un bucle $g$ homotópica a $f$ tal que $g(I)\subseteq A$.

Lo que realmente me molesta de esto es cómo podría homotopy formar un homotopy de $f$ $g$consiste en, posiblemente, infinitamente muchos homotopies de$f_i$$g_i$. Creo que necesidad hay de ser sólo un número finito de $f_i's$, pero no veo la manera de mostrarlo.

Nota: Esta no es la tarea.

Answer 1

Prueba con Yoyo sugerencia

Desde $X$ se define como el resultado de la fijación de un $n$-cell $A$ a través de algunos adjuntar mapa de $\varphi:\partial D^n\rightarrow X$, tiene la forma $X=A \amalg e^n/\sim$ donde $x\sim \varphi(x)$ todos los $x \in \partial D^n$. Nota primero que desde $A$ $e^n$ ruta conectado, la contigüidad espacio de $X=A\cup_\varphi e^n$ es también la ruta de acceso conectado. Como tal, la elección de la base del punto de no afectar la estructura de $\pi_1(X)$, así que vamos a $x_0 \in A$ ser el punto de partida de $\pi_1(X)$ estamos trabajando. Deje $f \in \pi_1(X,x_0)$. Deje $E=\text{Int}(e^n)$ y considerar la posibilidad de $f^{-1}(E)$. Este es un subconjunto abierto de $(0,1)$, por lo que es la unión de un posiblemente infinita colección de subconjuntos de a $(0,1)$ de la forma $(a_i,b_i)$. Deje $x \in E$ y deje $U$ ser un pelota alrededor de $x$$e^n$. Como antes, $f^{-1}(U)$ es un subespacio abierto de $(0,1)$, por lo que es de la forma$(c_i,d_i)$, posiblemente, un número infinito de $i$'s. La preimagen $f^{-1}(x)$ es un subespacio cerrado de $I$, por lo tanto es compacto. Los intervalos de $(c_i,d_i)$ forma una cubierta abierta de a $f^{-1}(x)$, por lo tanto, una colección finita de estos intervalos, cubierta $f^{-1}(x)$. Deje $f_i$ denotar la restricción de $f$$(c_i,d_i)$. Tenga en cuenta que $f_i$ se encuentra en el cierre de $U$ y, en particular, $f(a_i)$ $f(b_i)$ mentira en el límite de $U$. Para $n\geq 2$ podemos homotopy $f_i$ a el camino de $g_i$ $f(a_i)$ $f(b_i)$en el cierre de $U$ que es disjunta de a $x$, desde el cierre de las $U$ es homeomórficos a $D^{n}$, cerrado y convexo subconjunto de $\mathbb{R}^n$. Esto le da un homotopy de $f$ a el camino de $g$, que es disjunta de a $x$. Desde $g$ no es surjective, es homotópica a una ruta de $h$ contenido totalmente en el $A$.

Answer 2

Desde $\pi_1(S^n) =0$ $n>1$ así todos los elementos de $\pi_1(X)$ pueden ser observados como un elemento os $\pi_1(A)$.