Hay un número real $\xi$ de tal manera que uno no puede ni probar ni refutar que $\xi$ es positivo.
Prueba: Hay una cantidad no numerable de números reales, pero sólo countably muchas pruebas.
Esto es algo que se me acaba de ocurrir. No sé nada acerca de la prueba de la teoría, o algo como eso. Es mi razonamiento correcto?
Sólo para enfatizar, me gustaría saber si la prueba es correcta. La declaración en sí es verdadero, véase, por ejemplo, Yves Daoust la respuesta.
Tu pregunta está mal definido, simplemente porque las pruebas son cadenas de símbolos, y ¿cómo va a describir a cada número real por una cadena de símbolos, de modo que incluso puede ser parte de una prueba? Basado únicamente en lo que no se puede hablar de demostrar o refutar algunas frase acerca de un número real arbitrario. Si eso responde a tu pregunta, entonces que es todo allí está a él. $ \def\rr{\mathbb{R}} $
Dicho esto, hay una interesante pregunta aparte de que se pueden hacer fuera de ella:
Hay un número real $x$ que es definible más de ZFC tal que ZFC no puede probar o refutar que $x > 0$?
La afirmación anterior puede ser fácilmente hecho preciso de la siguiente manera:
Deje $\rr$ el conjunto de los números reales como se define en ZFC, y $0_\rr$ ser el elemento cero en $\rr$. Hay un $1$-parámetro de la sentencia de $P$ más de ZFC tal que ZFC prueba "$\exists! x ( P(x) \land x \in \rr )$" pero ZFC demuestra ni "$\forall x ( P(x) \to x > 0_\rr )$" ni "$\forall x ( P(x) \to x \le 0_\rr )$".
Aviso que esta pregunta no puede ser respondidas fácilmente recurriendo a la cardinalidad de consideraciones. Pero la respuesta a esta pregunta es, curiosamente, "sí". Deje $1_\rr$ ser la unidad de elemento en $\rr$. (En realidad, todo lo que importa es que ZFC prueba "$1_\rr > 0_\rr$".) Deje $Q$ ser independiente frase más de ZFC, tales como $\neg \text{Con}(\text{ZFC})$, y deje $P(x) \overset{def}\equiv Q \land x=1_\rr \lor \neg Q \land x=0_\rr$. Entonces ZFC prueba "$P(0) \lor P(1)$" y "$\forall x,y ( P(x) \land P(y) \to x=y )$", y por lo tanto también demuestra "$\exists! x ( P(x) \land x\in\rr )$". Sin embargo, ZFC no puede demostrar "$\forall x ( P(x) \to x > 0_\rr )$" de lo contrario sería también demostrar "$\neg P(0_\rr)$" y, por tanto,"$Q$". Del mismo modo ZFC no puede demostrar "$\forall x ( P(x) \to x \le 0_\rr )$" de lo contrario sería también demostrar "$\neg P(1_\rr)$" y, por tanto,"$\neg Q$".
Así que usted puede ver a partir de esto que la sintáctica de la incompletitud de ZFC tiene un efecto sobre el decidability incluso de preguntas básicas acerca de definibles reales.
Prueba: Hay una cantidad no numerable de números reales, pero sólo countably muchas pruebas.
El hecho de que hay más números que hay pruebas no significa nada, porque una sola prueba puede ser acerca de cualquier serie de números. Una prueba puede ser una prueba de un solo número, un par de números, countably infinitamente muchos números, o una incontable cantidad de números.
Ejemplo:
Reclamo: Si $x+2 > 2$$x>0$.
Prueba: Dado $x+2>2$, restar $2$ desde ambos lados. A continuación, obtenemos $x>0$. $\Box$
Esta es una (muy simple) de la prueba acerca de un incontable cantidad de números. Hay una cantidad no numerable de números que son mayores que $2$ (y más grandes de lo $0$).
Menos trivial ejemplo de una prueba que caracteriza a una cantidad no numerable de números es la prueba de que hay una cantidad no numerable de números reales.
Aquí el problema parece surgir de la falta de diferenciación entre los números reales , por un lado, y las descripciones de los números reales , por el otro. Cuando se quiere hablar de una real específico de u, su única oportunidad para comunicar que el número de las que están hablando, es por medio de un número finito de descripción en un idioma en la mayoría de los countably muchos símbolos. Una descripción debe ser de un predicado $P(x)$, lo que seguramente puede ser satisfecho por un único número real, es decir, podemos probar a $$P(x)\wedge P(y)\rightarrow x=y.$$
Algunos idiomas directamente le permiten decidir si el número es mayor que $0$, por ejemplo, la costumbre decimal de expansión. Otros idiomas pueden incluso no permiten calcular un solo dígito, y mucho menos de un signo. Por lo que la propiedad de no ser capaz de demostrar el signo del número no es una propiedad de la cifra en sí, sino una propiedad de la descripción de su uso.
Uno puede preguntarse si existe un número real $\xi$ para el cual no hay descripción existe a partir de la cual podemos probar el signo. Aquí, usted puede utilizar su cardinalidad argumento nuevo. Hay más números reales que las descripciones. Así que Sí hay un número. Pero esto no significa que no podemos demostrar el signo del número, como puede ser posible prueba de que el signo de una instrucción que no únicamente especificar este número , pero describe este número como parte de un conjunto de números reales. Por ejemplo, podría ser posible, para calcular los tres primeros dígitos, que puede ser suficiente.
Así que No, no creo que la prueba es correcta. Como otros han dicho, una prueba no debe dirigirse a un único número, así cardinalidades no se puede comparar aquí.
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