Para el área de $A$ regular $n$-gon con lado de longitud $1$, tenemos
$$A = \frac{n}{4} \cot\frac{\pi}{n} \qquad\to\qquad \cos^2\frac{\pi}{n}= \frac{x}{x+n^2}$$
donde $x := 16 A^2$. El polinomio de Chebyshev $T_n(\cdot)$ es tal que
$$T_n(\cos(\pi/n)) = \cos(\pi) = -1$$
Por lo tanto, la búsqueda de un (no-necesariamente-mínimo) polinomio satisfecho por $x$ es una cuestión de la eliminación de $c := \cos(\pi/n)$ desde el polinomio sistema
$$\begin{align}
(x+n^2)\;c^2 - x &= 0 \tag{1}\\[4pt]
T_n(c)+1 &= 0 \tag{2}
\end{align}$$
Un sistema de álgebra computacional puede hacer esto fácilmente; Mathematica, por ejemplo, tiene un Resultant[] comando para este propósito. La teoría general de los resultantes es un poco computacional excesivo, sin embargo. Podemos usar $(1)$ para reducir la $(2)$ a un lineal de la ecuación de $c$, decir $P c + Q = 0$; entonces podemos escribir $c^2 = \frac{Q^2}{P^2}$, por lo que el $P^2 x - Q^2 ( x + n^2 )$ da el destino polinomio. (Por supuesto, a menos que/hasta que una forma cerrada se determina, la fuerza bruta de manipulación de símbolos queda algo por hacer con un CAS.)
Estos son los resultados de la fuerza bruta de la operación ...
Factor[Resultant[ ChebyshevT[n,c] + 1, (x+n^2)c^2 - x, c ]]
... realizado por Mathematica para varios $n$ (con factores extraños y poderes de izquierda en la integridad):
$$\begin{align}
n = 3 &: \quad 81\;(x - 3)^2 \\[4pt]
n = 4 &: \quad 4\;(x - 16)^4 \\[4pt]
n = 5 &: \quad 625\;(x^2 - 50 x + 125)^2 \\[4pt]
n = 6 &: \quad 4x^2\;(x-108)^4 \\[4pt]
n = 7 &: \quad 2401\;(x^3 - 245 x^2 + 7203 x - 16807)^2 \\[4pt]
n = 8 &: \quad 4\;(x^2 - 384 x + 4096)^4 \\[4pt]
n = 9 &: \quad 6561(x-27)^2\;(x^3 - 729 x^2 + 72171 x -177147)^2 \\[4pt]
n = 10 &: \quad 4 x^2\;(x^2 - 1000 x + 50000 )^4 \\[4pt]
n = 11 &: \quad 14641\;\left(\;
\begin{array}{c}
x^5 - 1815 x^4 + 614922 x^3 \\
- 53146830 x^2 + 1071794405 x - 2357947691 \\
\end{array}\;\right)^2 \\[4pt]
n = 12 &: \quad 4 (x - 144)^4\;(x^2 - 2016 x + 20736)^4 \\[4pt]
n = 13 &: \quad 28561\;\left(\;
\begin{array}{c}
x^6 - 3718 x^5 + 2827539 x^4 - 637138788 x^3 \\
+ 44865189655 x^2 - 827150951094 x + 1792160394037
\end{array}
\;\right)^2
\end{align}$$
Edit. Since $n$ itself is part of the elimination process, it figures into the result(ant)s in ways that the above doesn't make clear. Here are the interesting factors, using explicit references to powers of $n$ among the coefficients.
$$\begin{align}
n = 3 &: \quad x - n \\[4pt]
n = 4 &: \quad x - n^2 \\[4pt]
n = 5 &: \quad x^2 - 2 n^2 x + n^3 \\[4pt]
n = 6 &: \quad x - 3 n^2 \\[4pt]
n = 7 &: \quad x^3 - 5 n^2 x^2 - 3 n^4 x - n^5 \\[4pt]
n = 8 &: \quad x^2 - 6 n^2 x + n^4 \\[4pt]
n = 9 &: \quad x^3 - n^3 x^2 + 11 n^4 x - 3 n^5 \\[4pt]
n = 10 &: \quad x^2 - n^3 x + 5 n^4 \\[4pt]
n = 11 &: \quad x^5 - 15 n^2 x^4 + 42 n^4 x^3 - 30 n^6 x^2 + 5 n^8 x - n^9 \\[4pt]
n = 12 &: \quad x^2 - 14 n^2 x + n^4 \\[4pt]
n = 13 &: \quad x^6 - 22 n^2 x^5 + 99 n^4 x^4 - 132 n^6 x^3 + 55 n^8 x^2 - 6 n^{10} x + n^{11}
\end{align}$$
It may be worth noting that $11$ is a common factor of most of the coefficients in the $n=13$ polynomial, and $3$ is a common factor in half of the coefficients in the $n=11$ polynomial.
It may also be worth noting that the degree of $$ n en los polinomios da la secuencia
$$1, 2, 3, 2, 5, 4, 5, 4, 9, 4, 11, ...$$
que es un desplazamiento de OEIS del A216475: "El número de números coprime y menos de $n$, excepto 2." (La OEIS secuencia comienza en el índice de $1$, por lo que su referencia a $n+2$ corresponde a nuestro uso de $n$ aquí). El patrón continúa a través de, al menos, $n=25$ con menores de tocar el violín en los casos de $n=15$, $21$, y $25$: en estos casos, el poder de la $n$ es demasiado grande por $1$; podemos "arreglar" para que por escrito, $n^{p+1}$ $n\cdot n^p$ y el tratamiento de la tira-off $n$ "sólo un número". (En el caso de $n=25$, escribir $n^{20}$ $25n^{19}$ nos permite dividir el polinomio por su destacada $x$-coeficiente de, $5$, lo que es monic en $x$.)
Por cierto, el título de la secuencia de $x$ ...
$$1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 2, 5, 2, 6, ...$$
... aparece como un desplazamiento de OEIS del A023022: la "media totient función"$\phi(n)/2$.
Edición 2. Podemos usar esta fórmula explícita para $T_n$...
$$T_n(c) = c^n\;\sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor} \binom{n}{2k}(1-c^{-2})^k$$
... para dar fórmulas para los polinomios de arriba (con el extra de factores y competencias; determinar el polinomio mínimo de estos es un ejercicio para el lector).
Al $n=2m$, no hay ninguna apreciable trabajo, ya que la $c$ aparece en incluso poderes a lo largo, y $(2)$ simplemente se convierte en (después de eliminar denominadores)
$$\left(x+n^2\right)^m + \sum_{k=0}^{m} \binom{n}{2k}(-1)^k x^{m-k} n^{2k}$$
When $n=2m+1$, there's an extra power of $c$, por lo que nuestra manipulaciones involucrar a cuadrar para obtener
$$\left(x+n^2\right)^{n} - x\;\left(\;\sum_{k=0}^{m} \binom{n}{2k}(-1)^k x^{m-k} n^{2k} \; \right)^2 $$
