Una pregunta acerca de una prueba de módulos noetheriano y secuencias exactas

Question

He demostrado la parte (i) de los siguientes:

Me pueden decir si mi prueba de $(i)\Longleftarrow$ es la correcta? Aquí va:

Deje $M^\prime$ $M^{\prime \prime}$ ser Noetherian. Deje $L_n$ ser ascendente de la cadena de submódulos en $M$. A continuación, $\alpha^{-1}(L_n)$ es ascendente de la cadena de submódulos en $M^\prime$. Por lo tanto $\alpha^{-1}(L_n)$ es estacionaria, es decir, $\alpha^{-1}(L_n) = \alpha^{-1}(L_{n+1})$ $n$ lo suficientemente grande. Por lo tanto $L_n = L_{n+1}$ $n$ lo suficientemente grande desde $\alpha$ es inyectiva, por tanto $L_n$ es estacionaria.

La prueba se administra en Atiyah-Macdonald es el siguiente pero no entiendo por qué tienen tanto los mapas, $\alpha$$\beta$:

Answer 1

Si esta prueba no trabajado, a continuación, nos gustaría ser capaces de concluir que un módulo es Noetherian si tiene un Noetherian submódulo. Ciertamente no es este el caso - como un ejemplo tonto, el trivial submódulo es siempre Noetherian. Si nos olvidamos de los $\beta$ entonces es cierto que $(\alpha^{-1}(L_n))_n$ va a estabilizar, pero no es como si $\alpha(\alpha^{-1}(L_n)) = L_n$, ya que el $\alpha$ no necesita ser surjective.

El uso de Atiyah y MacDonald prueba, quiere mostrar que si $N_1 \subset N_2$ son submódulos de $M$ tal que $\alpha^{-1}(N_1) = \alpha^{-1}(N_2)$$\beta(N_1) = \beta(N_2)$,$N_1 = N_2$. Para esto, tome $x \in N_2$. Por supuesto, hay un $y \in N_1$ tal que $\beta(y) = \beta(x)$. Por exactitud, entonces, no es un $z \in M'$ tal que $\alpha(z) = x - y \in N_2$. Por lo tanto $z \in \alpha^{-1}(N_2) = \alpha^{-1}(N_1)$. ¿Ves cómo a la conclusión de que la $x \in N_1$?

[Necesitamos que $N_1 \subset N_2$, por el camino. Pensar acerca de $M = \mathbb R^2$ $M' = \text{the $x$-axis}$ y la de la familia de las líneas de $y = mx$$m \neq 0$.]